Conservação da quantidade de movimento angular

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Aqui, como na postagem sobre conservação da quantidade de movimento linear, vamos considerar um sistema cosistindo de partículas de massas com O momentum angular da -ésima partícula, com relação à origem, é dado por

Mas quando temos um sistema de partículas, pode ser que seja mais interessante calcular o momentum angular com relação a um ponto do próprio sistema, que pode ser móvel. Seja o vetor posição desse ponto Então, com relação a o momentum angular da -ésima partícula é escrito como

O momentum angular total, com relação ao ponto denotado é a soma desses momenta angulares das partículas e, portanto,

Vamos ver agora se a derivada do momentum angular total dá o torque devido à força externa? Será? Para saber, façamos a derivada temporal de

Mas,

e, portanto,

isto é,

Como na postagem sobre conservação da quantidade de movimento linear vimos que

e

segue que

isto é,

Como vimos na postagem sobre conservação da quantidade de movimento linear,

e

Logo,

Mas,

Veja que, como os índices e dessas somas são mudos, podemos trocá-los um pelo outro e escrever

Como a ordem das somas não muda o resultado, podemos também escrever

Somando membro a membro com e dividindo ambos os membros por

isto é,

Da terceira lei de Newton decorre que

e, portanto,

ou seja,

Agora a suposição que pode ser feita é a de que a força entre duas partículas tem a direção do vetor que liga uma à outra, isto é,

Com essa suposição, segue que

para todos os índices Consequentemente,

e

Seja

o torque total das forças externas sobre o sistema, com relação ao ponto Então,

Veja que quando é um ponto escolhido de forma a não sofrer aceleração ou no caso em que escolhemos o ponto como sendo o centro de massa, temos

que mostra a conservação do momentum angular do sistema, com relação ao ponto quando não há torque externo. Você vê como é conveniente escolher o ponto como o centro de massa? Observe que com essa escolha, não importa se o centro de massa seja acelerado ou não, o termo

é nulo porque

😎

Música desta postagem: On an Overgrown Path – In tears de Leos Janácek, por Chris Breemer

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