Como tomar o traço sobre os graus de liberdade do ambiente

Minha intenção nessas discussões sobre mecânica quântica é expor os detalhes de como tratar o problema de um aparato de medida interagindo com um sistema quântico. Sem abordar, agora, a questão do caráter quântico ou clássico do aparato, o sistema quântico sob medição, durante a interação com o instrumento de medida, não pode mais ser tomado como um sistema fechado. É necessário, portanto, que exploremos um pouco o âmbito dos sistemas quânticos abertos. Na postagem sobre um reservatório térmico de osciladores harmônicos, calculamos o traço sobre os graus de liberdade do ambiente de e obtivemos o resultado

onde

e

Aqui pretendo descrever esse cálculo com mais detalhes, pois há sutilezas que podem passar despercebidas. Uma maneira simples de tomar o traço envolve escolher uma base para o espaço de Hilbert dos estados do ambiente. Há, no entanto, infinitos modos normais, cada qual com um certo número de ocupação. Para cada modo normal , os estados de número , para , diagonalizam o operador número , isto é,

Com isso, podemos construir o produto tensorial

Variando cada um dos ‘s desde até infinito, geramos uma base para o espaço de Hilberte do ambiente formado por infinitos osciladores harmônicos não interagentes. Essa é a chamada base de Fock. Assim,

Desse resultado também segue que

Notemos que, para evitar confusões com índices mudos, devemos sempre lembrar que

Agora é fácil deduzirmos, por indução finita, que, para um inteiro e não negativo,

A indução finita segue facilmente. Essa fórmula certamente vale para, digamos, , conforme vimos acima, além de, obviamente, valer para e . Suponhamos, então, que valha para e demonstremos que, como uma consequência disso, valerá também para . É simples:

onde, é claro, usamos a identidade

Assim, a fórmula acima,

vale para todo inteiro e não negativo. Com isso, agora podemos calcular:

o que também significa que são auto-estados de .

A função de partição é o traço sobre os graus de liberdade do ambiente de . Mas esse traço é dado por

onde é uma base qualquer (o traço é invariante por mudança de base). Escolhendo a base de Fock, temos

onde utilizamos o fato de que a base de Fock é ortonormal, isto é,

para . Mas, sabemos que

e, portanto,

Calculemos, agora, o traço de para um certo dado :

e, portanto,

já que todos os outros fatores do numerador cancelam-se com seus correspondentes do denominador. Nesse ponto vem um grande truque:

e, portanto,

Logo,

como queríamos demonstrar.

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