Como Newton deve ter obtido a força gravitacional através das leis de Kepler

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No curso de Física II que ministrei em 2010, adotamos um livro-texto que talvez não enfatize o bastante um ponto crucial sobre como Newton, usando a terceira lei de Kepler, inferiu a lei da gravitação universal. Não há nada errado no livro, mas acho melhor salientar alguns detalhes dessa inferência. A terceira lei de Kepler diz que os quadrados dos períodos das órbitas dos planetas são proporcionais aos cubos dos semi-eixos maiores das órbitas elípticas que os planetas descrevem. Na verdade, no livro-texto de H. Moysés Nussenzveig, essa terceira lei está enunciada assim: “Os quadrados dos períodos de revolução de dois planetas quaisquer estão entre si como os cubos de suas distâncias médias ao Sol”. Veja que se essa for a forma que Kepler realmente utilizou, então ele não se terá referido ao movimento da Lua, propriamente dito, mas apenas aos movimentos dos cinco planetas conhecidos na época: Mercúrio, Vênus, Marte, Júpiter e Saturno. Esses são os planetas visíveis a olho nu. Ao longo de uma trajetória elíptica, a distância média a um dos focos é proporcional ao semi-eixo maior, o que justifica o enunciado anterior, isto é, de que os quadrados dos períodos são proporcionais aos cubos dos semi-eixos maiores. Foi Newton quem pensou que havia uma força universal entre objetos materiais e supôs que a mesma força que a Terra exerce sobre os corpos em sua superfície estender-se-ia até a órbita da Lua. Aí está a inferência de que a lei de força que atua entre cada planeta e o Sol é a mesma lei de força que atua entre quaisquer dois corpos dotados de massa. Isso coloca todos os planetas, a Terra, a Lua, o Sol e todos os corpos materiais dotados de massa na mesma categoria de objetos que interagem mutuamente através da força gravitacional.

O cálculo que tipicamente é apresentado de forma didática agora segue facilmente. Um objeto qualquer na presença da Terra, digamos, cai em sua direção seguindo uma lei de força universal. Se a força que mantém a Lua em órbita segue a mesma lei, então essa força deve ser igual à massa da Lua multiplicada por sua aceleração centrípeta, de acordo com a segunda lei de Newton. Sendo assim, a aceleração da Lua em uma órbita circular é a centrípeta e é dada por

implicando, pela segunda lei de Newton, em uma força centrípeta dada por

onde é a frequência angular da Lua em sua órbita, suposta circular, é sua massa, é a distância radial de sua trajetória, com a origem colocada no centro da Terra suposta imóvel, e é o versor radial. Seja o período da órbita descrita pela Lua. Então,

e, portanto,

A terceira lei de Kepler nos diz, matematicamente que

já que a distância média da Lua à Terra é em uma órbita circular de raio Vamos chamar de a constante de proporcionalidade e escrever

A substituição de por na expressão da força logo acima resulta em

que pode ser rearranjada assim:

Exatamente aqui sempre fica implícita uma inferência importante: essa mesma expressão de força deverá valer mesmo que a Terra e a Lua estejam ambas, uma em relação à outra, paradas. A ideia é que a Lua só permanece em órbita porque está constantemente “caindo” em direção à Terra, com módulo da velocidade tangencial constante. Caso não tivesse uma componente tangencial de velocidade, inegavelmente a Lua colidiria com a Terra. Com essa observação em mente, conjecturamos que se a força gravitacional fosse equilibrada pela ação de uma outra força qualquer, capaz de segurar a Terra e a Lua para não colidirem por atração mútua, então a lei de força gravitacional ainda assim continuaria da mesma forma. Essa asserção é uma inferência e não uma dedução. O movimento orbital e a terceira lei de Kepler foram utilizados como artifícios para podermos inferir qual deveria ser a força atrativa que somente dependesse das massas dos corpos e de suas posições relativas.

Com a inferência explicitada do parágrafo acima, podemos continuar nossa análise da lei de força gravitacional. Pela terceira lei de Newton, a Lua também exercerá uma força sobre a Terra de mesmo módulo, mas de sinal contrário:

Como, por hipótese, a Lua também atrai a Terra porque a Terra tem massa, podemos trocar a Terra pela Lua e vice-versa e escrever

com sendo a massa da Terra e sendo uma outra constante de proporcionalidade. Note que o versor radial com o centro da Lua na origem do sistema de coordenadas é onde é o versor radial com o centro da Terra na origem. Como

segue que

isto é,

Portanto,

e, ao mesmo tempo,

Isso quer dizer que, com fixo, é simultaneamente proporcional a e a além de ser proporcional a Assim, sendo uma constante independente das massas e segue que

Ainda há mais questionamento filosófico que não é normalmente coberto pelos livros-texto, mas vou parar por aqui para não lhe assustar ou entusiasmar demais. Veja que que não depende das massas e nem das coordenadas dos corpos interagentes, é, portanto, uma constante universal, sendo a mesma para a força gravitacional entre quaisquer dois objetos dotados de massa.

A física é bonita por causa desses detalhes que, por não serem tão práticos, são deixados para depois. O problema é que sempre, em todas as disciplinas, esses detalhes são deixados para depois. Para não perder o entusiasmo, não deixe para depois as coisas bonitas das disciplinas que cursar; vá atrás delas agora, antes mesmo de decorar as fórmulas e passagens matemáticas! Para que é que serve Google, afinal?

😎

Música desta postagem: Waltz No. 2 de Robert Ståhlbrand, por Robert Ståhlbrand

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4 Comments for Como Newton deve ter obtido a força gravitacional através das leis de Kepler

  1. J. Guilherme said,

    agosto 3, 2010 @ 7:04

    Saudações!
    Sou um aluno de física/bacharelado, mas estou na outra turma.
    Fiquei um tanto curioso sobre os tais questionamentos filosóficos que a Lei de Gravitação acarretou… Como (e onde) exatamente posso achar mais informação sobre tais?
    Grato!

  2. reginaldo said,

    agosto 3, 2010 @ 9:22

    Olá J. Guilherme,
    Fico muito grato pelo seu comentário. Sobre filosofia, acho que um texto bastante amplo pode ser a dissertação de mestrado de Emerson Ferreira de Assis, que foi orientado por Caetano Ernesto Plastino, do Departamento de Filosofia da USP: Axiomata Sive Leges Motus: a mecânica racional newtoniana sob a ótica da metodologia dos programas de pesquisa científica. No entanto, para um começo bastante rápido, eu diria que o site http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Newton.html pode fornecer material suficiente, senão de filosofia, pelo menos para uma contextualização preliminar; a desvantagem é que o texto está em inglês. No entanto, se você realmente quer uma visão geral, em português, por que não visitar a Wikipédia: http://pt.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton e alguns dos links disponibilisados lá? Eu leria essas biografias curtas primeiro, depois leria alguns links relacionados e, então, partiria para a leitura da dissertação do Emerson, inclusive seguindo a bibliografia lá apresentada. Espero ter ajudado. Saudações!

  3. Rogério said,

    agosto 3, 2010 @ 23:17

    Boa noite professor !

    A informação trazida de forma clara e objetiva sobre a força gravitacional relatada pelo professor iliminou as dúvidas que eu tinha sobre este assunto que foi tratado no livro 1 de física.
    Aproveitarei a dica dada ao colega da física/bacharelado pelo professor e irei em busca de mais conhecimento sobre este assunto.

    Aluno de física computacional

  4. reginaldo said,

    agosto 4, 2010 @ 15:30

    Olá Rogério,
    Grato deveras pelo seu comentário. Espero que você faça bom proveito da dica.

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