Coeficiente de reatividade

Audio clip: Adobe Flash Player (version 9 or above) is required to play this audio clip. Download the latest version here. You also need to have JavaScript enabled in your browser.

Nas postagens Seções de choque, Seção de choque diferencial e Duas esferas em colisão elástica apresentei os conceitos de seção de choque total e diferencial, com exemplos. Nesta postagem introduzo o coeficiente de reatividade entre duas espécies que reagem quando sofrem colisão. Esse coeficiente aparece nas equações de taxa para reações químicas e nucleares. Essencialmente, é a média, tomada sobre a distribuição de velocidades relativas entre as partículas reagentes, do produto entre a seção de choque total para a reação e o módulo da velocidade relativa entre as partículas reagentes. Portanto, vou calcular explicitamente o número de partículas produzidas pela colisão, por unidade de volume e unidade de tempo, e deduzir o coeficiente de reatividade.

partículas reagentes

Comumente a produção das partículas resultantes da reação se dá em um gás composto pelas partículas reagentes em equilíbrio termodinâmico. Entretanto, para simplificar o raciocínio, vou considerar, inicialmente, um feixe de partículas incidentes sobre partículas alvo fixas no espaço, que se distribuem em uma camada de espessura como na postagem Seções de choque. Nesse caso, vamos supor que temos partículas incidentes por unidade de volume, todas em um feixe colimado e cada uma com velocidade de módulo Seja o número, por unidade de volume, de partículas alvo fixas em uma camada de área infinita e espessura Como expliquei na postagem Seções de choque, a probabilidade de uma partícula incidente sofrer uma colisão e reagir com alguma das partículas alvo da camada de espessura é dada por onde a seção de choque, é uma função que, em princípio, pode depender da velocidade relativa entre as partículas reagentes. Note também que a espessura é medida ao longo do sentido de propagação do feixe incidente. Vamos usar esse resultado para determinar o número de colisões reativas por unidade de tempo e por unidade de volume. Durante um intervalo de tempo curto, as partículas do feixe incidente penetram uma distância na camada de partículas alvo. Assim, durante esse intervalo de tempo, cada partícula incidente tem a probabilidade de colidir, reativamente, dada por Durante esse tempo, o número de partículas incidentes presentes na região de interação com as partículas alvo é dado por onde é a área transversal do feixe incidente e é o volume onde as partículas incidentes interagem com as partículas alvo durante o intervalo de tempo Portanto, o número de colisões reativas é dado por esse número, multiplicado pela probabilidade de haver reação, isto é, Então, há a produção desse número de partículas resultantes da colisão durante um intervalo de tempo Logo, por unidade de volume, o número de partículas produzidas pelas colisões reativas é dado por isto é, Assim, por unidade de tempo e unidade de volume, o número de partículas resultantes da reação é

Nesse caso, o coeficiente de reatividade é dado por onde é a velocidade relativa entre as partículas reagentes. Note que é o número de pares reagentes por unidade de volume ao quadrado. Como fazer para generalizar a Eq. (1) para o caso de colisões reativas ocorrendo em um gás ideal, composto pelas partículas reagentes em equilíbrio termodinâmico?

A generalização da Eq. (1) que apresento aqui começa com a observação de que, em um gás das partículas reagentes, há a distribuição de Maxwell das velocidades das partículas que chamaremos, de forma arbitrária, de partículas incidentes, com massa isto é,

e há a distribuição de Maxwell das velocidades das partículas que chamaremos, arbitrariamente, de partículas alvo, com massa isto é,

Aqui, é a constante de Boltzmann e é a temperatura absoluta do gás em equilíbrio termodinâmico. Em termos de componentes cartesianas, podemos escrever

e

implicando que

e

Com essas observações, é fácil ver que as Eqs. (2) e (3) estão normalizadas à unidade, isto é,

e

As Eqs. (4) e (5) mostram que as distribuições dadas pelas Eqs. (2) e (3), quando multiplicadas por e respectivamente, representam as frações dos números de partículas incidentes e partículas alvo, respectivamente, com suas componentes de velocidades dentro dos intervalos e respectivamente.

Aqui vou tomar o gás como sendo, por hipótese, homogêneo, isto é, tem as mesmas propriedades macroscópicas em cada ponto. Assim, considerando a vizinhança de um ponto qualquer do gás, há partículas incidentes por unidade de volume e partículas alvo por unidade de volume. No entanto, desses pares de partículas reagentes, por unidade de volume ao quadrado, vou considerar somente o subconjunto deles em que as partículas incidentes desse subconjunto têm suas velocidades com componentes e dentro dos intervalos e respectivamente. Também vou considerar que as partículas alvo desse subconjunto têm suas velocidades com componentes e dentro dos intervalos e respectivamente. Assim, em torno da vizinhança do ponto em consideração, nesse subconjunto restrito de partículas, há partículas incidentes por unidade de volume e partículas alvo por unidade de volume, onde estou adotando a notação em que e

Imagine que podemos visualizar apenas as partículas incidentes e partículas alvo desse subconjunto particular de todas as partículas, em torno da vizinhança do ponto em consideração. Dentro desse subconjunto, tomar o volume no espaço de velocidades bem pequeno faz com que as partículas incidentes que vemos tenham, aproximadamente, todas a mesma velocidade Analogamente, tomar o volume no espaço de velocidades bem pequeno faz com que as partículas alvo que vemos tenham, aproximadamente, todas a mesma velocidade Então, considere que caminhamos junto com as partículas alvo, com a mesma velocidade que elas têm nesse subconjunto particular. Dada essa situação imaginária, como só vemos as partículas desse subconjunto restrito, no referencial inercial de velocidade relativa ao recipiente do gás, todas as partículas alvo que vemos estão paradas e as partículas incidentes que vemos têm a mesma velocidade relativamente ao nosso referencial hipotético que acompanha as partículas alvo de velocidade Do ponto de vista dessa situação, o subconjunto particular de partículas do gás, em torno do ponto que estamos considerando, descreve exatamente a situação onde a Eq. (1) é válida, mas, agora, ao invés de pares de partículas reagentes, por volume quadrado, temos pares por volume quadrado. As partículas incidentes que vemos, do referencial inercial em que nos imaginamos, todas têm aproximadamente a mesma velocidade e, portanto, para o particular subconjunto que estamos considerando, a Eq. (1) é válida e escreve-se

onde é o módulo da velocidade relativa entre as partículas reagentes. Na Eq. (6), denoto por o número, por unidade de volume, de partículas produzidas reativamente somente pelas partículas reagentes dentro do subconjunto que fixamos e na vizinhança do ponto em consideração. Assim, integrando ambos os membros da Eq. (6) sobre todas as possíveis velocidades, obtemos

onde e

é o número total, por unidade de volume e por unidade de tempo, de partículas produzidas reativamente pelas partículas reagentes, em cada ponto do gás e em um partícular instante de tempo. O símbolo aparecendo nas integrais indica, simplesmente, que estamos integrando sobre todo o volume do espaço de velocidades, isto é,

e

A integral dupla aparecendo no segundo membro da Eq. (7) pode ser escrita de uma forma alternativa através da mudança de variável definida por

ainda mantendo como variável de integração. Então,

onde

é a distribuição de velocidades relativas entre as partículas que chamamos de partículas incidentes e as partículas que chamamos de partículas alvo do gás. Essa nomenclatura, como mencionei inicialmente, é puramente arbitrária e tem a função de fazer uma analogia, dentro do raciocínio acima, com a situação idealizada em torno da dedução da Eq. (1). Em um gás onde todas as partículas se movem em uma mistura homogênea, não há como justificar, de forma objetiva, chamar um tipo de partícula de incidente e outro, de alvo. O que podemos dizer, de forma precisa, sem ambiguidade interpretativa, é simplesmente que as partículas de massa são de um tipo e que as de massa são de outro, mas as de um tipo reagem com as do outro.

Que a Eq. (11) é a distribuição de velocidades relativas entre as partículas reagentes é fácil de entender intuitivamente se notarmos a presença da função delta de Dirac no integrando da segunda igualdade. Para o gás como um todo, consistindo dos dois tipos de partículas, a distribuição conjunta de velocidades é o produto das distribuições das Eqs. (2) e (3). Esse produto aparece no integrando da segunda igualdade da Eq. (11). O integrando, no entanto, é esse produto multiplicado pela função delta. O efeito dessa função na integração sobre as velocidades é que, de todas as possíveis velocidades que o gás possui, só não são incluídas na integração aquelas tais que é igual a um valor fixo, Ou seja, estamos integrando sobre todas as velocidades que não representam uma velocidade relativa entre as partículas reagentes igual a Em outras palavras, a quantidade é a fração do número de pares de partículas reagentes do gás, com velocidades e tais que as componentes e de pertencem a um intervalo em torno de de volume no espaço de velocidades. Note também que a integração sobre da Eq. (11) é normalizada à unidade, isto é,

e que a dimensão de é igual ao inverso do cubo da dimensão de velocidade, como é, de fato, o caso de uma distribuição de Maxwell de velocidades.

Substituindo a Eq. (10) na Eq. (7), obtemos

onde o coeficiente de reatividade é a média de tomada sobre a distribuição de valores absolutos de velocidades relativas de partículas reagentes, ou seja,



😎

Música desta postagem: Song Without Words No. 4 Op. 102 in G minor de Felix Mendelssohn, por Kaila Rochelle

Referências

[1] Nuclear Reactions. Some Basics, por Demetrius J. Margaziotis.

[2] Keith R. Symon, Mechanics , terceira edição (Addison Wesley, 1971).

Recomendo também a leitura das postagens a seguir:

Uma versão em PDF

Gostou desta postagem? Então clique no botão abaixo e siga o Nerdyard no Twitter! Toda vez que houver uma nova postagem aqui, você saberá imediatamente! :cool:

Siga Nerdyard no Twitter

Melhor ainda: inscreva-se em Nerdyard e receba, por e-mail, o aviso com links para cada nova postagem ou novidade.

Google Groups
Inscreva-se em Nerdyard
Melhor email:
Visite este grupo

NOTE QUE EU ODEIO SPAM COM TODA CONVICÇÃO! :cool:

Dessa forma, não se preocupe: eu juro que jamais fornecerei seu endereço de e-mail ou qualquer outra informação sobre você para ninguém!

Clip to Evernote

Deixe um comentário for Coeficiente de reatividade

Editor de Equações (www.codecogs.com/latex/eqneditor.php)

Para entender como utilizar esse editor de equações, clique aqui.