Cavidades Ressonantes

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Podemos construir uma cavidade ressonante a partir de um guia de ondas cilíndrico simplesmente adicionando tampas transversais ao longo do eixo do guia. Assim, escolhamos o eixo no interior do guia de ondas e paralelo ao seu eixo. Consideremos duas tampas condutoras, feitas com o mesmo material das paredes do guia, colocadas transversalmente ao eixo do guia, uma em e a outra em , com . Para tratar o presente problema, procedemos como para o caso de guias de ondas cilíndricos, exceto que o ansatz para a dependência dos campos com a coordenada deve ser apropriada a uma onda estacionária, ao invés de uma onda viajante. Dessa forma, para cada uma das componentes dos campos, propomos que essa dependência seja uma combinação linear de e .

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Creative Commons License photo credit: russelljsmith

Vamos considerar que o interior da cavidade ressonante seja preenchido por um material dielétrico linear, homogêneo e isotrópico, com permissividade elétrica e permeabilidade magnética . Para ondas monocromáticas armazenadas dentro da cavidade ressonante, tomemos como dependência temporal de nosso ansatz a função . Com isso, como para guias de ondas cilíndricos, as equações de onda escrevem-se

e

Modos

Analogamente ao que fizemos no caso de um guia de ondas cilíndrico, procuremos por modos transversais elétricos, , ou seja, imponhamos dentro da cavidade ressonante. Da Lei de Indução de Faraday temos

Em termos de componentes cartesianas, essa equação resulta em

Para modos :

e

Como explicado acima, procuramos por ondas estacionárias ao longo do eixo . Assim, tomamos a dependência funcional em do campo como uma combinação linear de e . No entanto, para os modos as componentes não nulas de tangenciam as tampas condutoras e, como condição de contorno, devem ser nulas em e . Portanto, necessariamente devemos ter

onde definimos

e

com

já que para soluções não triviais. Com isso, as equações

e

fornecem

e

Da Lei de Ampère-Maxwell obtemos

ou seja,

Com o ansatz referente à dependência em , essas equações dão

e

o que implica que

com

Logo, das equações acima, concluímos que podemos obter as componentes não nulas do campo elétrico em termos de derivadas espaciais de :

e

isto é,

e

Também temos

e

Resumindo, se definirmos o operador nabla transversal como

podemos escrever

onde definimos

e

Dessa forma, se encontrarmos , facilmente obteremos , , , e . Para obtermos , utilizamos a equação de onda:

Com o ansatz para a dependência em , que resulta em

obtemos a equação para :

Essa equação e as condições de contorno para resolvem o problema para modos . Na superfície lateral da cavidade ressonante, a componente normal de deve ser nula, pois o condutor é ideal e se anula dentro do material condutor. Logo,

Mas como a normal à superfície da cavidade ressonante cilíndrica é ortogonal ao eixo que definimos, podemos escrever

resultando em

isto é,

é a condição de contorno para modos .

Modos

Impondo que dentro da cavidade ressonante, obteremos os modos transversais magnéticos, . Da Lei de Ampère-Maxwell obtemos

ou seja,

Para modos :

e

Aqui também tomamos a dependência funcional em do campo como uma combinação linear de e . Novamente observamos que as componentes de que tangenciam as tampas condutoras, como condição de contorno, devem ser nulas em e . Portanto, necessariamente devemos ter, mesmo para modos

com

já que implica em , mas, como veremos abaixo, não necessariamente implica em para modos . Assim,

e

O ansatz para que faz sentido à luz dessas equações é

e, portanto,

fornece

e

isto é,

e

Da Lei de Indução de Faraday temos

Em termos de componentes cartesianas, essa equação resulta em

Para modos e usando o ansatz para a dependência em acima, obtemos

e

ou seja,

e

ou ainda,

que dá

e

que fornece

Vemos dessas equações que

com

Em resumo, portanto,

e

Dessa forma, se encontrarmos , facilmente obteremos , , , e . Para obtermos , utilizamos a equação de onda:

Com o ansatz para a dependência em , obtemos a equação para :

Como a componente tangencial do campo elétrico à superfície lateral da cavidade ressonante deve ser nula, pois o campo elétrico dentro de um condutor ideal é nulo e a componente tangencial do campo elétrico é contínua, segue que

isto é,

ou seja,

e, portanto,

e

A normal tem apenas as componentes e e

Logo, porque as componentes da normal, e , não podem ser ambas nulas, segue que a condição de contorno para os modos é

isto é,

ou seja, como essa igualdade deve valer na superfície lateral para todo entre e , segue que

Frequências de ressonância

Das equações de onda

e

como para modos e

com para modos e para modos , segue

As equações acima juntamente com suas respectivas condições de contorno representam problemas de Sturm-Liouville, ou seja, problemas de auto-vetores e auto-valores. Assim, para cada auto-função teremos um valor discreto correspondente para , que podemos denotar como , onde são os índices escolhidos para designar os correspondentes auto-valores. Logo, a cavidade ressonante somente poderá conter ondas eletromagnéticas estacionárias com frequências discretas dadas por

Essas são as chamadas frequências de ressonância da cavidade. É importante notarmos que essas frequências correspondem a linhas espectrais da cavidade infinitamente estreitas para um condutor ideal. Na prática, no entanto, como a condutividade de um material condutor é sempre finita, há absorção da energia das ondas eletromagnéticas pelas paredes da cavidade. Esse fato implica em uma largura finita para as linhas espectrais da cavidade.

😎

Música desta postagem: Serenata Op. 15 No. 1 de Moritz Moszkowski, por Tristan Hudson

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