O teorema de Helmholtz

Nesta postagem vamos ver que o divergente e o rotacional de um campo vetorial determinam o campo vetorial. Decorre, então, que um campo que tem divergente nulo é determinado em termos de seu rotacional apenas. Com isso, mostraremos que o campo indução magnética se expressa como o resultado de um rotacional de um outro campo vetorial, chamado potencial vetorial.

Comecemos com a representação da “função” delta de Dirac em termos do laplaciano do inverso da distância entre os vetores posição de dois pontos no espaço, isto é,

Então, qualquer campo vetorial diferenciável, pode ser escrito como

ou seja,

já que o laplaciano só opera na variável e não depende dessa variável. Mas,

ou ainda,

Então, podemos substituir este resultado no integrando acima e obter

isto é,

Agora é fácil ver que

e

Mas,

e, portanto,

Logo,

Analogamente,

e, portanto,

Logo,

Assim,

Vamos tomar como sendo todo o volume do espaço. Então, usando o teorema da divergência de Gauss, podemos escrever:

Se o ponto de observação, com vetor posição está a uma distância finita da origem e se a distância da origem até os pontos com vetores posição sobre a superfície for infinita, segue que

Neste caso, o elemento de área é proporcional a e, portanto,

onde é o elemento de ângulo sólido subtendendo o elemento de área Supondo, portanto, que para finito o campo é nulo sobre ou, caso o campo seja independente de então varia com o inverso do quadrado de ou como com segue que

implicando que

para e podemos escrever

Usando o lema de Gauss, podemos também escrever:

e, através de um raciocínio completamente análogo ao usado acima, supondo que para finito o campo é nulo sobre ou, caso o campo seja independente de então varia com o inverso do quadrado de ou como com segue que

Com isso, podemos escrever:

que é o teorema de Helmholtz. Vejamos que o primeiro termo do segundo membro deste resultado tem rotacional nulo e o segundo termo tem o divergente nulo.

No caso particular do campo indução magnética, que tem seu divergente nulo em todo ponto do espaço, segue que

Portanto, vemos que, como segue que existe um campo vetorial, que denotaremos tal que

O campo é chamado de potencial vetorial.

😎

Recomendo também a leitura das postagens a seguir:

Uma versão em PDF

Gostou desta postagem? Então clique no botão abaixo e siga o Nerdyard no Twitter! Toda vez que houver uma nova postagem aqui, você saberá imediatamente! :cool:

Siga Nerdyard no Twitter

Nerdyard