Campo gravitacional

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Entre duas partículas puntiformes a força gravitacional é fácil de ser escrita e entendida intuitivamente, pois aponta sempre de uma partícula para a outra e é sempre atrativa. No entanto, quando uma partícula puntiforme encontra-se na presença de um corpo extenso, a direção da força de atração sobre a partícula pontual não pode mais ser facilmente adivinhada. Isso acontece porque, geralmente, a força gravitacional não aponta para o centro de massa do corpo extenso, mas depende de sua distribuição de massa. É por isso que o conceito de campo gravitacional é útil, já que consiste das linhas de força que ocupam o espaço, sendo geradas por qualquer corpo dotado de massa.

Tome uma partícula pontual de massa que interage gravitacionalmente com um corpo extenso de massa A força sobre a massinha suposta fixa no ponto é dada por

onde é a densidade de massa do corpo extenso de massa total calculada no ponto Note que a integral é sobre o volume do corpo de massa A integração pode ser estendida para todo o espaço físico, já que caso o ponto não esteja dentro do volume Fazendo o limite da massa indo a zero, definimos o campo gravitacional como

É fácil verificar que, como a força gravitacional é conservativa, existe uma função escalar tal que

onde é chamado de potencial gravitacional. Note que o sinal é invertido com relação à energia potencial cujo gradiente dá a força gravitacional multiplicada por

Para ver que a Eq. (1) dá a Eq. (4), basta notar que

Para ver que essa relação é válida, note que

e, portanto,

Logo,

Assim,

isto é,

ou seja,

onde usei a Eq. (8). Analogamente,

e

Com essas derivadas parciais, podemos agora escrever

isto é,

ou seja,

onde usei a Eq. (6) e esse resultado mostra a validade da Eq. (5).

Usando a Eq. (5) na Eq. (1) dá

Como o operador opera na variável e não em podemos escrever essa equação assim também:

Como a variável de integração é e não segue que o operador pode ser retirado da integral e o resultado disso é

isto é,

onde definimos a energia potencial gravitacional

Esse resultado mostra a Eq. (4). De forma análoga, a Eq. (3) pode ser vista facilmente a partir da Eq. (2):

isto é,

onde definimos

O campo gravitacional é irrotacional, pois

O fluxo do campo gravitacional sobre uma superfície fechada, é dado por

que, para uma massa pontual dentro da superfície ao invés de um corpo extenso, dá

Mas vou tomar a origem exatamente sobre a massinha Então,

onde

No integrando,

onde é o elemento de ângulo sólido subentendido pelo elemento de área Então,

Como a superfície pode ser completamente arbitrária, pode ficar em qualquer ponto interno a e o resultado sempre será o mesmo. Em particular, quando temos mais do que uma massa apenas dentro de basta somarmos o resultado:

No caso de uma distribuição contínua,

com sendo uma região no interior da superfície fechada Pelo teorema da divergência de Gauss, podemos escrever

e, usando a Eq. (14), a Eq. (15) fornece

isto é,

para todo volume Sendo assim,

Substituindo a Eq. (3) na Eq. (16) fornece

isto é,

que é a chamada equação de Poisson para o potencial gravitacional e o operador

é chamado de laplaciano. Quando estamos considerando a Eq. (17) em uma região do espaço onde não há massa, obtemos a chamada equação de Laplace para o potencial gravitacional:

As Eqs. (11) e (16) são as equações fundamentais para o campo gravitacional de Newton. A Eq. (17) reúne ambas as Eqs. (11) e (16). No entanto, para resolver essas equações, é necessário saber as condições de contorno que o campo gravitacional deve satisfazer na fronteira da região onde essas equações devem ser resolvidas.

😎

Bibliografia

[1] Keith R. Symon, Mechanics, terceira edição (Addison Wesley, 1971).

Música desta postagem: October (Autumn Song) de Pyotr Ilich Tchaikovsky, por Alfonso Bertazzi

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2 Comments for Campo gravitacional

  1. João Pedro Sussel Bertogna said,

    dezembro 3, 2015 @ 0:59

    Professor, não tenho certeza mas acho que tem uma coisa errada ai. Caso o errado seja eu, você poderia me explicar? Na equação (1):

    o sinal é negativo, contudo, na equação 5 também há um sinal negativo, assim, o correto na minha opinião seria:

    .

    O senhor escreveu a mesma equação mas com o sinal de menos, ai, na hora de definir a energia potencial deveria ser a (9) mas com sinal de menos.

  2. reginaldo said,

    dezembro 3, 2015 @ 15:42

    Olá João Pedro,
    Primeiramente, grato deveras pelo seu comentário!
    Você está absolutamente correto! Já consertei o erro!
    Valeu pela ajuda e atenção!

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