Autoestados da energia cinética

A energia cinética de uma partícula de massa em mecânica quântica, é dada pelo quadrado do operador momentum dividido pelo dobro da massa:

O operador hamiltoniano, gerador da evolução temporal de uma partícula livre, é dado pelo operador energia cinética da partícula, isto é, pela Eq. (1). Os autoestados da energia cinética, como é fácil verificar usando a Eq. (1), são os mesmos autoestados do operador momentum. Esses autoestados não são normalizáveis, pois são dados por ondas planas:

O produto escalar entre dois autoestados de energia cinética é proporcional à função delta de Dirac tridimensional, cujo argumento é a diferença entre os dois vetores momenta. Se esses vetores forem distintos, os correspondentes autoestados serão ortogonais, mas, se forem idênticos, seu produto escalar divergirá. Nesta postagem, com vistas a aplicações à teoria formal de espalhamento, vou definir uma nova amplitude para as ondas planas, diferente da usual (cf. Eq. (2)), para que seus produtos escalares sejam ainda proporcionais à função delta de Dirac tridimensional, mas agora com a diferença entre as energias como um dos argumentos, além dos argumentos angulares.

Queremos, portanto, encontrar autofunções da energia cinética, com autovalores tais que

onde, dados versores

e

definimos:

Na Eq. (3),

e

Mas,

A substituição da Eq. (9) de volta na Eq. (3) fornece

Porque, em coordenadas esféricas,

vemos que a Eq. (10) pode ser reescrita como

Sabendo que, em virtude da Eq. (2),

isto é,

podemos definir

ou seja,

Usando a Eq. (2), podemos escrever a Eq. (14) explicitamente assim:



😎

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