As gregas: taxas de variação do preço justo de opções européias com relação aos parâmetros envolvidos no caso ideal

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Na postagem O princípio do hedging sem risco e a teoria de Black, Scholes e Merton, ficou evidente que a carteira composta de uma opção de compra lançada a descoberto e de ações fica sem risco se

isto é, se a quantidade de ações compradas for igual à derivada parcial do preço da opção com relação ao preço da ação. Isso nos inspira a examinar várias outras variações de com respeito aos diversos parâmetros envolvidos na fórmula de Black e Scholes. Em finanças, tradicionalmente, várias dessas taxas são representadas por letras gregas e, por isso, são conhecidas como “as gregas”.

London England
Creative Commons License photo credit: az1172
Esse é o prédio da Royal Exchange, em Londres.

De acordo com a postagem O preço de uma opção de compra segundo a teoria de Black, Scholes e Merton, o preço de uma opção de compra do tipo europeu é dado por

onde

e

Agora vamos calcular as diversas derivadas parciais do preço da opção com relação aos diversos parâmetros envolvidos. Mas, antes de qualquer coisa, consideremos a derivada com relação a um parâmetro qualquer, Temos:

Podemos derivar implicitamente e escrever:

Mas, como

segue que

Além disso,

Logo,

Portanto, a fórmula acima para a derivada com relação a um parâmetro qualquer fica:

isto é,

ou ainda,

Tomemos a derivada com relação ao preço da ação fazendo

na equação para O resultado dá:

Variação com relação ao preço de exercício

Tomemos a derivada com relação ao preço da ação fazendo

Então,

A variável é a derivada parcial do preço da opção com relação ao tempo. Tomemos a derivada com relação ao preço da ação fazendo

em

A variável é a derivada parcial de com relação ao preço da ação:

ou seja,

Vega

A variável

chamada vega, que não é um nome grego, mas árabe, é a derivada parcial do preço da opção com relação à volatilidade. Tomemos a derivada com relação ao preço da ação fazendo

Então,

A variável é a derivada parcial do preço da opção com relação à taxa de juros livre de risco. Tomemos a derivada com relação ao preço da ação fazendo

Então,



😎

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Música desta postagem: Sonata in F major, Hob. XVI Nr. 23 (Adagio) de Franz Joseph Haydn, por Tom Pascale

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