As Equações de Maxwell Macroscópicas

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Dentro da matéria há moléculas por toda parte. Em cada molécula, há átomos compostos por núcleos positivos orbitados por elétrons negativos. Sobre cada uma dessas minúsculas partículas, se consideradas puntiformes, o campo elétromagnético diverge, assumindo valores infinitos. Mas, nessa afirmação, estamos falando do campo eletromagnético microscópico, que não pode ser medido por uma ponta de prova, que, por sua vez, também é composta por átomos. Precisamos, então, formular uma maneira de tratar o campo eletromagnético dentro da matéria que seria observável através de medições feitas por um aparato macroscópico. 😎

BiwYE
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No vácuo, as equações de Maxwell são as que já temos considerado:

e

onde adicionei o subscrito para indicar que essas são equações microscópicas. Entre um elétron e um próton, por exemplo, os campos são os microscópicos; não há outro meio senão o vácuo entre eles. O problema é que, para medir os campos, as cargas e as correntes, utilizamos instrumentos macroscópicos. Não há como medirmos diretamente as grandezas microscópicas. Assim, um aparato macroscópico mede sempre um valor efetivo médio, no espaço e no tempo, das grandezas eletromagnéticas. Vamos, portanto, seguir o livro de J. D. Jackson e fazer uma média espacial das equações acima para deduzir as equações de Maxwell macroscópicas.

Seja uma função centrada na origem e esfericamente simétrica, mas que se anule exponencialmente para distâncias suficientemente grandes. Por exemplo, como a luz visível não mostra a natureza granular da matéria, mas os raios X mostram, podemos convencionar como o limite macroscópico uma distância típica que divida o âmbito visível do âmbito de raios X, digamos, como Jackson, cerca de . Isso significa que podemos supor que se anule para distâncias da ordem de . As médias espaciais das grandezas eletromagnéticas, então, ficam

e

onde as integrais são sobre todo o espaço. Os campos macroscópicos são definidos como as médias dos respectivos campos microscópicos:

e

onde as quantidades macroscópicas não têm o subscrito .

Agora, tomando as médias das equações de Maxwell microscópicas, obtemos

e

No entanto,

pois, como opera apenas sobre e não sobre ,

De maneira análoga, também temos

e

Como a derivada parcial com relação ao tempo não opera sobre e nem sobre , segue que

e, analogamente,

Assim, as duas equações macroscópicas homogêneas de Maxwell já estão deduzidas:

e

Ainda precisamos calcular e . Vamos supor que haja cargas em cada molécula do material e, para simplificar sem perder a generalidade, vamos supor também que o material seja uma substância pura, isto é, composto por moléculas idênticas. Seja a posição da -ésima molécula, medida com relação a um núcleo atômico específico. Assim, cada carga , da -ésima molécula fica no ponto , com relação ao vetor posição da molécula, . Isso quer dizer que, com relação à origem do sistema de coordenadas, a posição da carga é dada por . Também vamos imaginar que haja cargas livres, , nas posições . Como há movimento dessas cargas todas, todas as posições mencionadas devem ser consideradas como funções do tempo. Assim,

e, portanto,

Tipicamente, é da ordem de alguns angströms apenas e, portanto, não difere apreciavelmente de . Podemos, portanto, aproximar:

e, com essa aproximação, obtemos

O dipolo elétrico da -ésima molécula é

e definimos também o momento quadrupolar elétrico da -ésima molécula como

Para simplificar nossos cálculos abaixo, suponhamos que

ou seja, que as moléculas do material tenham momento quadrupolar elétrico nulo. A polarização do meio fica, então,

já que a -ésima molécula tem um dipolo instantâneo . Com essas observações, concluímos que

e, reconhecendo essa quantidade na expressão de acima, vem

Supondo que cada molécula seja neutra, temos

e, consequentemente,

A densidade de carga livre é, naturalmente, definida como

e, definindo

podemos escrever

analogamente ao caso eletrostático. A Lei de Gauss macroscópica fica, então,

isto é,

ou seja,

onde definimos o vetor deslocamento como

Calculemos, agora, . Da própria definição de temos

onde é o campo de velocidades das cargas do meio material. Mas, como vimos,

e, portanto,

onde, por exemplo,

e o campo de velocidades das cargas calculado exatamente sobre a -ésima carga livre dá o valor de sua velocidade, ou seja,

com

Analogamente,

Mas o vetor indica a posição da -ésima carga da -ésima molécula. Logo, o campo de velocidades das cargas calculado exatamente sobre a posição da -ésima carga da -ésima molécula dá sua velocidade, ou seja,

onde

e

Com esses resultados, podemos escrever

Podemos aproximar, novamente,

e definir, naturalmente, a densidade macroscópica de corrente livre,

Logo,

Como estamos trabalhando agora para obter a equação de Ampère-Maxwell macroscópica, precisamos fazer aparecer, nos resultados acima, o rotacional da magnetização, além da derivada temporal da polarização. A magnetização é dada por

onde é o momento dipolar magnético da -ésima molécula, definido como

Assim, queremos reconhecer, na expressão para , o rotacional de :

Como

segue que

Mas como estamos supondo que

vem

que também é equivalente a

e, portanto,

Como também estamos supondo que a carga total de cada molécula seja nula, isto é,

temos

implicando que

A derivada temporal parcial da polarização é dada por

e, dessa forma,

Portanto,

ou seja,

Comparemos os termos entre colchetes:

Vamos supor também que o material não esteja em movimento, de forma que as velocidades das moléculas, , sejam muito menores, em valor absoluto médio, do que as velocidades das cargas em cada molécula, , também em valor absoluto médio. Com isso, podemos desprezar o segundo termo da equação acima e escrever

A equação de Ampère-Maxwell, então, em média espacial, fica

isto é,

ou ainda,

Definindo

e reconhecendo o campo deslocamento elétrico

obtemos

que é a equação de Ampère-Maxwell macroscópica. 😎

Música desta postagem: Neapolitan Dance-Tune, Album for the Youth, Op.39 (1878) de Pyotr Ilich Tchaikovsky, por Chris Breemer

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7 Comments for As Equações de Maxwell Macroscópicas

  1. » As equações de Maxwell para meios não condutores, lineares, homogêneos e isotrópicos | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    março 11, 2010 @ 10:39

    […] no caso não estático, quando os campos e as fontes podem depender do tempo, ainda assim as equações de Maxwell macroscópicas podem ser escritas […]

  2. Rodrigo S.Veiga said,

    março 22, 2010 @ 9:15

    Olá Reginaldo, uma dúvida. Na seguinte passagem:

    ,

    ou seja,

    ,

    não entendi a mudança de sinal do rotacional da magnetização microscópica. Esta mudança é determinante na definição do campo H.
    É só uma questão de definição?

    Obrigado

  3. reginaldo said,

    março 22, 2010 @ 17:19

    Olá Rodrigo, obrigado pelo comentário. Você encontrou um erro na passagem seguinte, que foi perpetuado até quando, inexplicavelmente, como você notou, mudei para o sinal correto. Já corrigi o texto todo e você pode ver, abaixo, o que está diferente. Na expressão abaixo, quando aparece explicitamente a média da magnetização microscópica, depois do último sinal de igualdade, eu havia colocado, erroneamente, um sinal de menos que, abaixo, agora está certo e é um sinal de mais, na verdade.

  4. Raphael said,

    março 24, 2011 @ 13:51

    Ola Prof. Reginaldo,

    o texto postado e excelente, no entanto nao consegui me sentir confortavel com as propriedades dadas na introducao da funcao f(r). Pelo que entendi tal funcao descreve a distribuicao espacial de cargas, campos, etc do material no espaco. E tal funcao se anula quando r = 100A. Gostaria de entender se isso quer dizer que a uma distancia superior a de 100A um campo eletrico microscopico, por exemplo, deve ser desconsiderado e o porque? Seria pelo fato dele ser anulado por outros campos do material, ou por ter magnitude pequena relativa a dos campos gerados por outras cargas mais proximas? Tambem tenho duvidas em relacao ao motivo dessa distancia: com uma distancia de 100A, a natureza granular da materia ja nao e mais percebida, e a partir dai so podemos falar de experimentos que medem grandezas macroscopicas que sao medias no espaco e no tempo, mas se realizarmos a media somente ate essa distancia, nao estariamos fazendo uma descricao incompleta, ja que nao estamos considerando todos os campos que podem ter influencia no experimento?

    Muito obrigado, por manter essa excelente fonte de informacoes que e esse site disponivel a todos.

  5. reginaldo said,

    março 24, 2011 @ 17:13

    Olá Raphael,
    Grato deveras pelo seu comentário e pelas palavras de encorajamento! Valeu mesmo!

    Com relação às suas dúvidas, a função é meramente um artifício para podermos fazer a média dos campos dentro de uma região comparável ao que um instrumento macroscópico poderia medir. Veja, uma ponta de prova, por exemplo, utilizada para medir um campo no material, deve ser macroscópica. Como definir uma região macroscópica típica? Simples, basta saber quando é que a matéria passa a ser vista como contínua e não granular. Então, nada mais natural do que utilizar a distância típica que você mesmo reconhece como sendo aquela em que a matéria passa a ser percebida como um meio contínuo, sem grânulos, como é o caso de distâncias da ordem de . Veja que os resultados obtidos não dependem da forma exata da função , que é meramente um artifício para realizar uma média das grandezas eletromagnéticas e mecânicas dentro do material. Espero que eu tenha ajudado. Caso ainda não tenha sanado suas dúvidas, não hesite em perguntar.

  6. Caio Martins said,

    abril 4, 2011 @ 11:42

    Olá professor,

    não sei se poderia chamar isso de dúvida, mas aqui vai: uma vez que o senhor anulou o termo utilizando o argumento que a velocidade das moléculas são desprezíveis com relação às velocidades dos átomos com relação ao referencial das moléculas por que você continua manipulando as expressões e não anula os termos com logo que os encontrou? Creio que essas manipulações auxiliam no nosso aprendizado, mas há alguma outra razão que eu não consegui enxergar?

    É isso. Valeu, professor.

  7. reginaldo said,

    abril 4, 2011 @ 17:05

    Olá Caio Martins,
    Grato deveras pelo seu comentário. Não posso simplesmente desprezar as quantidades só porque elas são muito menores em módulo do que as tenho antes que colocá-las lado a lado e compará-las. Quando escrevemos a expressão

    fica claro que podemos desprezar a segunda soma da última igualdade, comparada com a primeira soma, uma vez que as quantidades são muito menores em módulo do que as Foi por isso. Espero que esteja explicado agora.

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