As condições de contorno para os campos

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Quando dois materiais diferentes estão em contato, mesmo que lineares, homogêneos e isotrópicos, na região da interface entre eles pode haver descontinuidades dos campos, pois as susceptibilidades elétrica e magnética podem variar apreciavelmente de um material para outro. A interface entre os meios é representada por uma superfície singular, onde as descontinuidades ocorrem. Para calcularmos os campos na presença de uma interface utilizamos condições de contorno que fornecem, a priori, os valores das descontinuidades dos campos.

Das equações

e

segue que as condições de contorno para as componentes normais de e são as mesmas que para o caso estático, isto é,

e

onde é o versor que aponta do meio para o meio e é a interface de separação entre os meios.

Para as equações

e

um pouco mais de cuidado é necessário com as derivadas parciais com relação ao tempo.

Por exemplo, para a Lei de Ampère-Maxwell,

consideramos um ponto sobre a interface e fazemos uma circuitação plana e retangular, com seu plano contendo a normal à superfície no ponto considerado. Se é a normal, seja um versor perpendicular à normal no ponto considerado. Então, é tangente à superfície . O vetor é também um versor e é ortogonal a ambos os versores e . Com esses três versores, construamos uma circuitação em torno do ponto considerado da interface . Ao longo de , na região , tracemos um lado do retângulo de comprimento . Ao longo de , atravessando a interface da região para a região , tracemos outro lado do retângulo de comprimento . O retângulo está completo e podemos considerar o Teorema de Stokes para o fluxo do campo intensidade magnética sobre a superfície do retângulo, considerando e infinitesimais:

onde é a corrente livre superficial na interface . A condição de contorno nesse caso dá

pois

quando

Assim, a componente tangencial do campo intensidade magnética não é contínua quando . No entanto, é arbitrário; vamos então reescrever essa condição de contorno em termos apenas da normal . Como é arbitrário e tangente a , então, deve ser perpendicular a , ou seja,

Logo,

Como é arbitrário e o membro esquerdo dessa equação não é arbitrário, segue que e a condição de contorno fica

Como é tangente à interface, segue que

e, portanto,

como no caso estático. Analogamente, da Lei de Indução de Faraday segue a continuidade da componente tangencial de :



😎

Música desta postagem: Rhapsody Op.79 No.2 in G minor de Johannes Brahms, por John Robson

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1 Comentário for As condições de contorno para os campos

  1. » Reflexão e refração de ondas eletromagnéticas em interfaces planas entre dielétricos | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    março 16, 2010 @ 17:26

    […] ilustrar a utilização das condições de contorno para os campos, tratemos a reflexão e a refração de ondas eletromagnéticas planas por interfaces entre […]

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