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Aplicações da equação de Bernoulli | Nerdyard

Aplicações da equação de Bernoulli

Posted by reginaldo on agosto 25, 2010 at 15:48 · Under A vida na graduação

A fórmula de Torricelli

Em uma caixa d’água, cujo nível da água, medido a partir do fundo da caixa, é { h,} podemos, bem próximo ao fundo, lateralmente, imaginar um pequeno orifício por onde a água vaza, formando uma trajetória parabólica até o chão, supondo que a caixa d’água esteja, digamos, no teto de uma casa. Como vale a equação de Bernoulli, temos

\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}\rho\left|\mathbf{v}_{2}\right|^{2}+p_{2}+\rho gz_{2} & = & \displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}\rho\left|\mathbf{v}_{1}\right|^{2}+p_{1}+\rho gz_{1},\end{array}

onde o índice { 1} indica grandezas na superfície da água da caixa, à altura { h} do seu fundo, e o índice { 2} indica grandezas da água próxima do orifício, do lado de fora da caixa d’água. Como o orifício é minúsculo, a velocidade na superfície da água, { \left|\mathbf{v}_{1}\right|,} é nula e também temos { p_{2}=p_{1},} pois ambas as superfícies da água, tanto na superfície da caixa d’água, como após sair pelo orifício, estão à pressão atmosférica. Então,

\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}\rho\left|\mathbf{v}_{2}\right|^{2}+p_{2}+\rho gz_{2} & = & \displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}\rho\left|\mathbf{v}_{1}\right|^{2}+p_{1}+\rho gz_{1}\end{array}

implica em

\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}\rho\left|\mathbf{v}_{2}\right|^{2} & = & \displaystyle \rho g\left(z_{1}-z_{2}\right).\end{array}

Mas,

\begin{array}{rcl} \displaystyle z_{1}-z_{2} & = & \displaystyle h\end{array}

e, portanto,

\begin{array}{rcl} \displaystyle \left|\mathbf{v}_{2}\right| & = & \displaystyle \sqrt{2gh},\end{array}

que é a chamada fórmula de Torricelli. Essa velocidade é a mesma que um objeto material adquire em queda livre de uma altura { h,} a partir do repouso.

Tubo de Pitot

A equação de Bernoulli também serve para indicar como podemos medir a velocidade de um avião. Para isso existe o tubo de Pitot. Esse dispositivo é um tubo fino, que fica paralelo à asa da aeronave, com um orifício frontal e uma tubulação até um orifício lateral. O orifício frontal, muito pequeno comparado com o diâmetro frontal do tubo, recebe ar a uma pressão correspondente ao ar em repouso com relação ao tubo e, portanto, com relação à asa. O orifício lateral recebe ar a uma pressão correspondente ao ar em movimento com relação à aeronave. Como o tubo é estreito, na equação de Bernoulli podemos desprezar a diferença entre { z_{1}} e { z_{2}} e podemos escrever

\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}\rho\left|\mathbf{v}_{2}\right|^{2}+p_{2}+\rho gz_{1} & = & \displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}\rho\left|\mathbf{v}_{1}\right|^{2}+p_{1}+\rho gz_{1}.\end{array}

Com relação à asa, podemos desprezar a velocidade do ar que chega ao orifício frontal, digamos, com índice { 1} na equação acima. Assim,

\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}\rho\left|\mathbf{v}_{2}\right|^{2}+p_{2} & = & \displaystyle p_{1},\end{array}

ou seja,

\begin{array}{rcl} \displaystyle \left|\mathbf{v}_{2}\right| & = & \displaystyle \sqrt{\displaystyle\frac{2}{\rho}\left(p_{1}-p_{2}\right)}.\end{array}

Note que não há problema aqui, pois a pressão do ar em movimento deve ser menor do que a do ar em repouso, pois a equação de Bernoulli garante isso. Se a diferença de pressão for medida, com o uso de um manômetro, por exemplo, então a velocidade do avião, com relação ao ar, poderá ser calculada.

Fenômeno de Venturi

Em um cano com área transversal { A_{1},} há um fluido ideal incompressível, escoando em regime estacionário com pressão { p_{1}} e velocidade { \left|\mathbf{v}_{1}\right|.} Se esse cano fica mais fino, sendo estrangulado para um cano de área transversal { A_{2}<A_{1},} o que acontece com a pressão? Ora, porque há conservação de massa, devemos ter

\begin{array}{rcl} \displaystyle dm & = & \displaystyle \rho A_{1}\left|\mathbf{v}_{1}\right|dt\end{array}

atravessando ambos os segmentos do cano durante cada intervalo de tempo { dt.} De maneira análoga,

\begin{array}{rcl} \displaystyle dm & = & \displaystyle \rho A_{2}\left|\mathbf{v}_{2}\right|dt\end{array}

no pedaço do cano com área { A_{2}} e, portanto,

\begin{array}{rcl} \displaystyle \rho A_{1}\left|\mathbf{v}_{1}\right|dt & = & \displaystyle \rho A_{2}\left|\mathbf{v}_{2}\right|dt,\end{array}

ou seja,

\begin{array}{rcl} \displaystyle A_{1}\left|\mathbf{v}_{1}\right| & = & \displaystyle A_{2}\left|\mathbf{v}_{2}\right|,\end{array}

dando

\begin{array}{rcl} \displaystyle \left|\mathbf{v}_{2}\right| & = & \displaystyle \displaystyle\frac{A_{1}}{A_{2}}\left|\mathbf{v}_{1}\right|.\end{array}

Em um cano fino e horizontalmente posicionado, temos

\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}\rho\left|\mathbf{v}_{2}\right|^{2}+p_{2}+\rho gz_{1} & = & \displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}\rho\left|\mathbf{v}_{1}\right|^{2}+p_{1}+\rho gz_{1},\end{array}

isto é,

\begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}\rho\left(\displaystyle\frac{A_{1}}{A_{2}}\right)^{2}\left|\mathbf{v}_{1}\right|^{2}+p_{2} & = & \displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}\rho\left|\mathbf{v}_{1}\right|^{2}+p_{1},\end{array}

ou seja,

\begin{array}{rcl} \displaystyle p_{2} & = & \displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}\rho\left[1-\left(\displaystyle\frac{A_{1}}{A_{2}}\right)^{2}\right]\left|\mathbf{v}_{1}\right|^{2}+p_{1},\end{array}

ou ainda,

\begin{array}{rcl} \displaystyle p_{2}-p_{1} & = & \displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}\rho\left(\displaystyle\frac{A_{2}^{2}-A_{1}^{2}}{A_{2}^{2}}\right)\left|\mathbf{v}_{1}\right|^{2}.\end{array}

Como { A_{2}<A_{1},} segue que

\begin{array}{rcl} \displaystyle p_{2}-p_{1} & = & \displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}\rho\left(\displaystyle\frac{A_{2}^{2}-A_{1}^{2}}{A_{2}^{2}}\right)\left|\mathbf{v}_{1}\right|^{2}<0\end{array}

e, assim,

\begin{array}{rcl} \displaystyle p_{2} & < & p_{1}.\end{array}

Logo, ao passar do cano mais grosso para o mais fino, a pressão diminui.

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2 Comentários for Aplicações da equação de Bernoulli

  1. Lucas (Gizmo) said,

    agosto 28, 2010 @ 16:28

    Ótima explicação e ótimo site professor!! Ajudou bastante.
    Obrigado!

  2. reginaldo said,

    agosto 29, 2010 @ 9:36

    Olá Lucas,
    Grato deveras pelo seu comentário.
    Vlw

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