Ângulos de Euler

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Considere um corpo rígido e seus três eixos principais, e que são ortonormais. Vamos definir o sistema de coordenadas fixo ao corpo rígido, com os eixos e ao longo dos versores e respectivamente. Quando o corpo rígido gira em torno de algum ponto que permanece fixo no espaço, tomamos a origem de como sendo esse ponto fixo. No caso em que o corpo rígido não tem um ponto que fica fixo no espaço, tomamos a origem de no centro de massa. Quando dois dos momentos de inércia principais do corpo rígido são iguais, sempre tomamos seus respectivos eixos principais como sendo e por convenção. Também considere um sistema de coordenadas cartesianas, com eixos e e seus três versores respectivos, e A origem de tomamos como sendo a mesma origem de de forma que não é necessariamente fixo no espaço, já que o corpo rígido pode ter seu centro de massa em movimento, o que implicaria em uma origem de móvel. No entanto, as direções e são tomadas como fixas no espaço. Logo, são necessários três ângulos para determinar a orientação de com relação a Esses ângulos podem ser tomado como os chamados ângulos de Euler, que descrevo a seguir.

O primeiro ângulo de Euler chamamos de que consiste de uma rotação dos eixos e em torno do eixo de um ângulo A transformação de coordenadas para essa primeira rotação é descrita matricialmente como

onde

Para entender as Eqs. (1) e (2), basta tomar um ponto no plano dado por nas coordenadas rodadas, e também dado por nas coordenadas cartesianas originais. Em coordenadas polares, escrevemos

Como os eixos e estão rodados de um ângulo com relação aos eixos e segue que

Mas, da Eq. (4) segue que

isto é,

onde usei a Eq. (3), e

ou seja,

onde também usei a Eq. (3). Podemos colocar as Eqs. (5) e (6) em forma matricial assim:

Como

podemos multiplicar ambos os membros da Eq. (7) por

e obter

No caso de três coordenadas, mas mantendo os eixos e coincidentes, podemos também escrever, com o auxílio da Eq. (9),

que explica as Eqs. (1) e (2). O novo eixo também é convencionalmente chamado de eixo ou linha nodal.

O segundo ângulo de Euler é chamado e consiste de uma rotação dos eixos e em torno do eixo de um ângulo As novas coordenadas, depois dessa segunda rotação de Euler, são dadas por

onde

Note que a substituição da Eq. (1) na Eq. (10) resulta em

Finalmente, o terceiro ângulo de Euler chamamos de que consiste de uma rotação dos eixos e em torno do eixo de um ângulo As novas coordenadas, denotadas e são as coordenadas do sistema mencionado acima. Então,

onde

Substituindo a Eq. (12) na Eq. (13), obtemos

Das Eqs. (2) e (11), obtemos

isto é,

Das Eqs. (14) e (16), obtemos

isto é,

Como cada uma das matrizes e é ortogonal, a inversa de cada uma é sua transposta e obtemos, para o produto das três,

Das Eqs. (17) e (18) segue, portanto, que

Não esqueça que os ângulos e são funções do tempo.

Agora vamos escrever, em termos dos ângulos de Euler e suas derivadas temporais, o vetor Para isso, em termos dos eixos principais, que giram juntamente com o corpo rígido, podemos escrever

e

Seguindo o raciocínio da postagem Sistemas de coordenadas em movimento, vemos que o vetor é definido como

Das Eqs. (20), (21) e (22), obtemos

e

Assim, precisamos calcular, explicitamente, e e suas derivadas temporais.

Da Eq. (15) segue que

Como as coordenadas de no referencial são dadas por

segue que, em suas coordenadas são dadas por

Logo, usando a Eq. (19), podemos escrever

De maneira completamente análoga, também obtemos

e

Tomando as derivadas temporais das Eqs. (28), (29) e (30), obtemos

e

Substituindo as Eqs. (29) e (31) na Eq. (24), obtemos

isto é,

ou seja,

Substituindo as Eqs. (30) e (32) na Eq. (25), obtemos

isto é,

ou seja,

Substituindo as Eqs. (28) e (33) na Eq. (26), obtemos

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Substituindo as Eqs. (34), (35) e (36) na Eq. (23), obtemos

De acordo com a postagem Rotação de um corpo rígido e as equações de Euler, a energia cinética do corpo rígido, no sistema é dada por

onde

Substituindo as Eqs. (37) e (39) na Eq. (38), obtemos

isto é,

No caso de um corpo com tensor de inércia tal que dois de seus momentos de inércia principais são iguais, digamos, obtemos

isto é,

ou seja,



😎

Bibliografia

[1] Keith R. Symon, Mechanics, terceira edição (Addison Wesley, 1971).

Música desta postagem: Sonata for Piano and Flute Op. 94 No. 2 (Andante) de Sergei Prokofiev, por Mauro Bertoli (pianist) e Sonia Formenti (flautist)

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