A trajetória sob a ação de uma força central inversamente proporcional ao quadrado da distância

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A força gravitacional e a força eletrostática são centrais e proporcionais ao inverso do quadrado da distância ao centro de força, que vou tomar como a origem do sistema de coordenadas. Podemos escrever esse tipo de força central assim:

onde é uma constante que pode ser positiva, no caso de força repulsiva, ou negativa, no caso de força atrativa. Uma energia potencial adequada para essa força central pode ser escrita como

pois

De acordo com a postagem sobre força central, a energia total pode ser expressa assim:

e, com a expressão acima para a energia potencial, assim:

Como o caso de significa que a partícula tem velocidade ao longo da direção radial, o movimento é linear e não vou considerar esse caso mais simples aqui. Sempre estarei supondo

Veja que essa energia total pode ser positiva ou negativa, dependendo do valor de e das condições iniciais. Se a força é repulsiva, por exemplo, então é uma constante positiva e a energia total também é positiva, pois todos os três termos na expressão de são positivos. Quando a força é atrativa, a constante é negativa e há condições iniciais que fazem com que a energia total seja negativa; por exemplo, basta tomar a velocidade radial inicial nula e suficientemente grande para que o segundo termo da equação acima seja desprezível comparativamente ao valor absoluto do terceiro. Nesse caso de força atrativa, no entanto, há também condições iniciais que correspondem a uma energia total positiva; por exemplo, basta tomar uma velocidade radial suficientemente grande para que o primeiro e o segundo termos somados resultem em um valor maior do que o módulo do terceiro termo. Note, obviamente, que se a energia assume um determinado valor para uma dada condição inicial, então permanecerá sempre com esse mesmo valor durante todo o movimento, já que a energia total é conservada.

Sabemos que quando lançamos um objeto para cima, usualmente ele atinge uma altura máxima e retorna. Também sabemos que isso pode ser conseguido com projéteis e foguetes: atingem altitudes máximas e retornam. Em órbita da Terra, um satélite atinge uma distância mínima, chamada perigeu, e uma distância máxima, chamada apogeu. Um planeta também, em sua órbita em torno do Sol, atinge uma distância mínima, chamada periélio, e uma distância máxima, chamada afélio. Nesses pontos de distâncias extremas, a velocidade radial do objeto em órbita se anula. Vamos procurar por essas distâncias? Para isso, façamos na equação que dá a energia. Então,

Para simplificar, seja

então,

Rearranjando, temos

cujas soluções são:

e

Note que só pode haver soluções reais e, portanto, fisicamente aceitáveis, se

isto é,

Daqui em diante estarei sempre supondo a validade dessa desigualdade.

Quando a energia é positiva, a solução é negativa, o que não é possível fisicamente, pois é o inverso de uma distância, que é necessariamente positiva ou nula. Então, não há mais do que um só ponto da órbita em que a velocidade radial é nula e esse ponto é dado por

Note que quando a energia é positiva, não há solução positiva para mesmo quando Assim, para energias positivas não há duas posições em que a velocidade radial se anule. Nessas circunstâncias, a partícula atinge uma certa distância da origem e retorna, mas não volta mais. Essas trajetórias não são fechadas e, portanto, não são periódicas.

Para termos dois pontos de velocidades radiais nulas, a energia deve ser negativa e, portanto, a força deve ser atrativa, isto é, conforme explicado acima. Nesse caso, temos uma distância máxima e uma mínima, dadas, respectivamente, por

e

Na postagem sobre força central mostrei que a equação da trajetória de uma partícula sob a ação de uma força central do tipo

é dada por

onde

Para resolver esse problema, podemos mudar de variável:

Com isso,

isto é,

Essa é a equação para o movimento de um oscilador harmônico simples, cuja solução geral pode ser escrita assim:

onde e são constantes que devem ser determinadas em termos das condições iniciais. Retornando à variável obtemos

Retornando, agora, para a variável

Vamos derivar ambos os membros dessa equação com relação ao tempo, implicitamente:

Como vimos na postagem sobre força central,

e, portanto,

isto é,

Como a energia total é dada por

segue que

isto é,

Mas já sabemos que

Logo,

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Logo,

Sem perder a generalidade, podemos tomar já que basta escolher como constante arbitrária no lugar de para mudar o sinal do termo que tem isto é,

Com essa escolha, podemos escrever a equação da órbita como

Caso em que a força é atrativa e

Neste caso, já vimos que temos duas posições radiais com velocidades radiais nulas:

e

Esses são os valores obtidos a partir da equação da trajetória,

quando e respectivamente. Então, veja que podemos reescrever essa solução para a trajetória da seguinte forma:

Sejam

e

que, como estamos tratando o caso em que e são constantes negativas, também pode ser escrita como

Veja também que, como segue que não se esqueça que estamos sempre supondo que

Com essas definições, veja que

e, portanto, a equação da trajetória pode ser expressa como

que é a equação de uma elipse em coordenadas polares. Sempre podemos escolher o eixo tal que e, portanto,

Note que a constante é arbitrária e deve ser determinada pela condição inicial do problema, isto é, alguém deve fornecer o valor da posição da partícula em Não importa qual seja essa posição inicial em um particular sistema de coordenadas, sempre podemos escolher um novo sistema de coordenadas, para a mesma trajetória, tal que assuma o valor que quisermos nesse novo sistema. Então, para fazer com que a equação da elipse que obtivemos seja escrita como a da postagem A elipse, aqui estamos supondo escolher um eixo tal que, para essa escolha,

Quando a força é atrativa e

Neste caso, a condição

é automaticamente satisfeita e a solução que obtivemos acima para a trajetória, isto é,

pode ser reescrita assim:

Usando as mesmas definições acima, isto é,

e

segue que

e, portanto,

Note que agora pois Por causa disso, veja que não pode fazer parte da trajetória, pois isso implicaria uma distância negativa. No entanto, faz parte da trajetória e dá o ponto da órbita mais próximo da origem. É quando a partícula, vindo de longe, “passa por trás da origem” e, defletindo sua direção original, afasta-se da origem seguindo em outra direção.

Aqui também, se escolhermos o eixo adequadamente, podemos tomar e escrever

Essa é a equação de uma hipérbole em coordenadas polares. A figura a seguir ilustra um trecho dessa trajetória.

Caso em que a força é atrativa e a energia total é nula

Neste caso,

isto é,

já escolhendo o eixo de modo a termos Esse é o caso em que a trajetória é uma parábola. Veja que a partícula, porque a força é atrativa, “passa por trás” do centro de atração. Para ver que essa trajetória é a de uma parábola, basta escrevê-la em coordenadas cartesianas de novo, para um sistema de coordenadas com zero coincidente com com o ponto em que Então, na equação acima, fazemos:

e

O resultado fica:

isto é, dividindo ambos os membros dessa equação por dá:

ou seja,

ou ainda,

Elevando ambos os membros dessa equação ao quadrado, vem:

isto é,

ou seja,

que é a equação de uma parábola no plano Veja que, como é uma constante negativa, essa parábola corta o eixo em e corta o eixo em A figura para essa parábola é qualitativamente muito similar à do caso anterior.

Caso em que a força é repulsiva

Neste caso, e a energia total é necessariamente positiva. A equação da trajetória continua sendo escrita como acima, isto é,

isto é,

Usando as definições anteriores para a excentricidade,

e para o parâmetro

segue que

e, portanto,

onde aqui já estou supondo que tomamos o eixo de tal forma que desta vez. Essa equação também descreve uma hipérbole em coordenadas polares, mas note que agora o ponto em que pertence à trajetória, já que Já o ponto não pertence a essa hipérbole. Nessa trajetória, a partícula é desviada de sua trajetória antes da origem, isto é, “não passa por trás” do centro de força. A figura a seguir ilustra um trecho dessa trajetória.

😎

Música desta postagem: Cantatas – Sheep May Safely Graze de Johann Sebastian Bach, por Sandro Bisotti

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2 Comments for A trajetória sob a ação de uma força central inversamente proporcional ao quadrado da distância

  1. Rafael said,

    agosto 31, 2011 @ 20:05

    Estava com dificuldades para chegar na relação

    para força atrativa e

    Agora ficou tudo mais claro! Muito obrigado!

  2. reginaldo said,

    setembro 1, 2011 @ 10:14

    Olá Rafael,
    Grato deveras pelo seu comentário e por mostrar que minha postagem foi útil a você. Valeu!

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