A seção de choque diferencial de Rutherford

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Qual é o ângulo de deflexão quando a partícula passa por um centro de força repulsiva? Nesse caso, quando tratamos as trajetórias sob a ação de forças centrais proporcionais ao inverso do quadrado da distância, vimos que a trajetória é dada por

onde

e

Note que, agora, já que e que vai a infinito quando se aproxima dos valores

A partir da direção original de aproximação da partícula, digamos a nova direção torna-se Caso não houvesse um centro espalhador na origem, a partícula não passaria pela origem, mas por uma reta a uma distância da origem e continuaria ao longo dessa reta paralela à assíntota de equação polar dada por

No entanto, por causa do centro de força repulsiva, a direção final é dada pela equação polar dada por

A magnitude da deflexão é dada pelo chamado ângulo de deflexão que nada mais é do que o valor absoluto da variação angular da trajetória final da partícula devida à ação repulsiva do centro de força:

A figura abaixo ilustra esses ângulos.

Essa fórmula é equivalente a

isto é,

A energia total inicial é dada pela energia cinética inicial, já que a partícula vem do infinito e, portanto, lá, só temos energia cinética:

onde

para simplificar a notação. O momentum angular inicial é dado por

onde é o ângulo entre os vetores posição e velocidade iniciais. O parâmetro de impacto, é definido como

e, portanto,

A figura acima ilustra o parâmetro de impacto Com isso,

isto é,

Em um experimento de espalhamento, a quantidade mensurável é a seção de choque diferencial. Seja o número de partículas que são espalhadas dentro de um intervalo do ângulo de deflexão entre e por unidade de tempo. Esse número deve ser proporcional à intensidade do feixe incidente, dada pelo número de partículas que chegam na região do espalhamento por unidade de área e por unidade de tempo, e deve ser proporcional a Em termos matemáticos, podemos escrever

isto é,

A constante de proporcionalidade deve ter unidades de área por ângulo de deflexão. Logo, seja essa constante de proporcionalidade. Assim:

Para cada ângulo de deflexão existe um valor do parâmetro de impacto, como podemos ver da expressão

Logo, para uma pequena variação do ângulo de deflexão, corresponde uma variação do parâmetro de impacto, Para calcular essa correspondência, vamos diferenciar ambos os membros da equação acima:

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Note que o sinal de menos indica que se como fica evidente da figura acima.

As partículas que serão espalhadas com ângulos de deflexão entre e devem ter parâmetros de impacto entre e Aqui, estarei considerando e, assim, Consideremos a área transversal do feixe incidente, A figura a seguir ilustra o feixe incidente.

Então, é o número total de partículas que estão no feixe incidente e que chegam, por unidade de tempo, na região de espalhamento. Desse número, apenas aquelas partículas que tiverem parâmetro de impacto entre e serão espalhadas dentro do intervalo de ângulo de deflexão entre e Da área total, do feixe incidente, somente as partículas que passarem através da área do anel serão espalhadas com a deflexão que estamos considerando. Essa área está para a área total assim como o número de partículas espalhadas está para o número total incidente:

isto é,

como

segue que

Logo,

Mas,

e

isto é,

Portanto,

isto é,



😎

Música desta postagem: Reverie de Claude Achille Debussy, por Chris Breemer

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