A relação entre as matrizes de espalhamento e de transição

Em postagens recentes defini as matrizes de transição e de espalhamento. Já mostramos, na postagem Matriz de transição, que esta matriz está relacionada com a amplitude de espalhamento, que é a quantidade cujo módulo elevado ao quadrado pode ser determinado em experimentos colisionais. De fato, a seção de choque diferencial para um determinado processo colisional é dada como o quadrado do módulo da amplitude de espalhamento. Nesta postagem vou mostrar a relação que existe entre as matrizes de transição e de espalhamento, conectando, portanto, a matriz de espalhamento com os experimentos através da matriz de transição. Uma das propriedades características da matriz de espalhamento é sua unitariedade, que também demonstraremos nesta postagem.

Na postagem sobre a matriz de transição definimos seus elementos como sendo

Como a relação da matriz com a amplitude de espalhamento,

envolve apenas vamos ignorar nesta postagem. A matriz de espalhamento tem seus elementos dados por

Como relacionar a Eq. (3) com a Eq. (1)?

Consideremos as equações de Lippmann e Schwinger, que, como vimos na Parte 5, são dadas por

Também vimos na postagem Matriz de espalhamento que

onde

e demonstramos que

Note agora que

isto é,

onde usamos a Eq. (6) e o fato de que

Logo, substituindo a Eq. (9) na Eq. (5), obtemos

Então, tomando o limite em que da Eq. (10) e lembrando a Eq. (7), vem

que é a chamada “forma fechada” das equações de Lippmann e Schwinger. A Eq. (11) nos permite escrever o bra assim:

A substituição da Eq. (12) na Eq. (3) dá

Usando a Eq. (4) no primeiro termo do segundo membro da Eq. (13), obtemos

onde usamos o fato de que

O uso da Eq. (9) no segundo termo do segundo membro da Eq. (14) fornece

É evidente agora que a Eq. (16) pode também ser expressa assim:

Note que

ou seja,

como demonstrado na postagem Uma relação útil para denominadores singulares. Substituindo a Eqs. (1) e (18) na Eq. (17) dá

onde usamos a equação

(cf. Eqs. (3) e (6) da postagem Autoestados da energia cinética e Eq. (25) da Parte 5).

Agora vou demonstrar a unitariedade da matriz Para isso, antes devemos demonstrar a ortonormalidade dos estado tipo “in” e tipo “out”. Calculemos, então:

onde, usamos

que decorre da Eq. (11). Substituindo a Eq. (4) no primeiro termo do segundo membro da Eq. (21), obtemos

Em virtude das Eqs. (9) e (15), a Eq. (23) fica

isto é,

ou seja,

com o uso da Eq. (20). Assim, vemos que os estados tipo “in” são ortonormais. De forma análoga, calculemos:

onde, usamos

que decorre da Eq. (11). Substituindo a Eq. (4) no primeiro termo do segundo membro da Eq. (27), obtemos

Em virtude das Eqs. (9) e (15), a Eq. (29) fica

isto é,

ou seja,

com o uso da Eq. (20). Assim, vemos que os estados tipo “out” também são ortonormais.

Veja que há uma correspondência biunívoca entre os estados e os correspondentes estados “in” e “out”. Os estados formam um conjunto completo de estados do contínuo. Por causa da relação biunívoca entre estes estados e os estados tipo “in”, por exemplo, estes últimos também formam um conjunto completo para estados do contínuo. O mesmo pode ser dito dos etados tipo “out”. No entanto, pode ser que o operador gere estados ligados, que estamos sempre supondo que não estão embebidos no contínuo. Dessa forma, um conjunto completo de estados pode ser obtido pelos estados tipo “in”, digamos, e uma base de estados ligados. O mesmo pode ser dito dos estados tipo “out”. Com isso, podemos escrever:

onde é um projetor no subespaço de estados ligados. Com a hipótese de que não há estados ligados embebidos no contínuo, temos

Para a conveniência notacional do que segue, vamos definir:

Agora, sim, podemos demonstrar a unitariedade da matriz Então, com a notação da Eq. (35), calculemos:

isto é,

onde usamos as Eqs. (33), (34) e (35). Das Eqs. (26) e (36), vemos que

Agora, façamos:

ou seja,

onde usamos as Eqs. (33), (34) e (35). Das Eqs. (32) e (38), concluímos que

As Eqs. (37) e (39) mostram a unitariedade da matriz

😎

Recomendo também a leitura das postagens a seguir:

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