A reflexão e a transmissão por uma camada fina

Nesta postagem vamos investigar o que acontece com as ondas planas que incidem sobre uma camada dielétrica fina. Há, portanto, três meios dielétricos separados por duas interfaces planas paralelas e vamos considerar uma onda eletromagnética plana incidente sobre a primeira interface da camada fina. Então há reflexão na primeira interface seguida de transmissão até a segunda interface e, lá, ocorre uma nova reflexão de volta para a primeira interface. Na segunda interface há também a transmissão para o terceiro meio. Para dielétricos ideais, sem absorção alguma, esses processos se repetem infinitamente nas duas interfaces entre os meios e a camada dielétrica fina, havendo infinitas refrações e reflexões. Aqui efetuaremos a soma de todas as infinitas contribuições para podermos calcular a reflectância e a transmitância, que são dadas em termos das intensidades totais da luz refletida para o primeiro meio e da transmitida para o terceiro.

Consideramos um meio dielétrico com índice de refração ocupando todo o espaço com Entre e consideramos um meio com índice de refração e, para consideramos um meio com índice de refração Os três meios são supostos lineares, isotrópicos, homogêneos e, para simplificar, isolantes e não magnéticos, isto é, com condutividades nulas: e permeabilidades magnéticas iguais à do vácuo: A onda incidente, com amplitude incide sobre a interface em e é refletida e refratada. A parte da onda que é refratada acaba incidindo sobre a interface em e, novamente, é refletida e refratada. A onda refletida na segunda interface acaba incidindo sobre a primeira interface e, novamente, é refletida e refratada. Essas reflexões e transmissões ocorrem infinitas vezes. Usando os coeficientes de Fresnel, podemos acompanhar esses processos e somar as diversas ondas refletidas e refratadas nas duas interfaces. O problema agora é o acúmulo de fase que deve ser levado em consideração.

Aqui consideramos apenas o caso em que o campo elétrico da onda incidente tem polarização linear ortogonal ao plano de incidência. Para o caso em que o campo elétrico tem polarização linear paralela ao plano de incidência é mais simples encontrar o campo indução de magnética incidente e proceder analogamente como abaixo. Após as superposições dos campos induções magnéticas terem sido calculadas, basta calcular os correspondentes campos elétricos e obter os coeficientes de Fresnel.

Como é usual, escrevemos:

Assim, dada a onda incidente,

temos que a onda refletida na primeira interface é dada por

para cada ponto do meio Por sua vez, a onda transmitida é dada por

para cada ponto do meio Essa onda transmitida, em é refletida e volta a se propagar no meio

onde agora temos o fator multiplicando a amplitude, pois a condição de contorno é aplicada em isto é, na segunda interface, e essa expressão é válida para todo ponto do meio Notemos que a dependência espacial da onda é agora medida a partir da interface em e, portanto, ao invés de aparece no argumento da segunda exponencial. Quando essa onda volta a atingir a primeira interface, é transmitida, e seu campo elétrico fica

Essa onda deve ser agora adicionada à onda e o resultado é

Seja

Agora, iteramos todas as reflexões nas interfaces em e e somamos as ondas que acabam sendo propagadas de volta ao meio depois que são transmitidas do meio ao meio Com isso, a amplitude total da onda refletida efetiva, fica

Analogamente, para o caso da onda transmitida para o meio a amplitude efetiva total, fica

Notemos que, do meio para o meio a dependência espacial da onda transmitida é dada por

já que as distâncias, no meio , são medidas a partir da interface em mas a amplitude mantém um fator como anteriormente, quando analisamos a onda refletida na interface em

Da postagem, Reflexão e refração na interface entre dois dielétricos no caso da incidência oblíqua, podemos verificar que

e

Com essas relações, as Eqs. (1) e (2) fornecem os coeficientes de Fresnel efetivos de reflexão e transmissão:

e

A reflectância e a transmitância são dadas por:

e

Efetivamente, portanto, temos:

e

Calculando as versões complexas dos respectivos campos de indução magnética, temos:

e

Então, para

isto é,

e, analogamente,

isto é,

ou seja,

já que ou é real, ou é imaginário puro. Como

segue que

isto é,

e

ou seja,

Pela lei de Snell & Descartes,

e, portanto, dependendo dos valores relativos dos índices de refração e do ângulo de incidência podemos ter real ou imaginário puro. Por exemplo, caso escolhamos

quando teremos

e

será imaginário puro. Nesse caso, pela fórmula acima, e, para haver conservação de energia, devemos ter Já no caso em que é real, para haver conservação de energia, devemos ter Além disso, seja real ou imaginário puro, em ambos os casos note que há duas situações a considerar: ou é real, ou é imaginário puro, quando e Para não ficarmos considerando todas as quatro situações distintas, vamos cosiderar todas as possibilidades de uma só vez.

Somando a reflectância efetiva com a transmitância efetiva, obtemos, das expressões acima,

válida somente quando o campo elétrico incidente é perpendicular ao plano de incidência. Queremos verificar que essa soma dá um, isto é, o numerador deve ser igual ao denominador. para isso, note que o denominador comum dos dois termos é escrito apenas em termos dos coeficientes de reflexão e da exponencial Vamos adotar, então, a estratégia de procurar escrever o numerador somente em termos de coeficientes de reflexão e da exponencial

Da postagem, Reflexão e refração na interface entre dois dielétricos no caso da incidência oblíqua, temos os coeficientes de Fresnel:

e

onde não estamos usando o subescrito para simplificar a notação. Veja que podemos também escrever, por exemplo,

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Analogamente,

Logo, multiplicando essas duas equações, obtemos:

isto é,

Então, tomando a parte real dessa equação, encontramos:

que é uma grandeza que aparece na expressão acima para agora expressa em termos apenas dos coeficientes de reflexão.

Também podemos escrever:

e

isto é,

e

Assim, com esses resultados, observe que podemos simplificar parte da expressão para da seguinte forma:

isto é,

ou seja,

ou ainda,

A soma fica, portanto,

Mas,

Note agora que, ou é real, ou é imaginário puro. Portanto,

em ambos os casos.

Agora podemos considerar dois casos: quando é real e quando é imaginário puro. Quando é real, obtemos:

e

Logo, nesse caso, independentemente de ser real ou imaginário puro, temos:

pois, nesse caso,

Já quando é imaginário puro, encontramos:

pois, agora, e

Assim, agora também, independentemente de ser real ou imaginário puro, ficamos com:

Mas,

Sendo assim,

pois, agora,

Agora que temos todas as expressões, podemos considerar alguns exemplos reais. Vamos reproduzir o gráfico da página 406 do livro [1] da bibliografia abaixo. Usando, portanto, incidência normal, com e obtemos a figura abaixo.

Figura 1: Caso em que temos incidência normal, com e .

Outro caso é quando, por exemplo, temos e com incidência a um ângulo acima do ângulo crítico para a primeira interface:

A figura abaixo ilustra o resultado. Note que, nesse caso, embora haja evanescência da onda no meio de índice de refração conforme a espessura vai crescendo, a transmitância vai diminuindo e a reflectância vai aumentando, como esperamos. Ressalto que as nossas expressões acima para e foram obtidas para o caso do campo elétrico incidente perpendicular ao plano de incidência. Vou deixar a você, como um exercício, deduzir as expressões para o caso em que o campo elétrico incidente é paralelo ao plano de incidência. E já que estamos falando em exercícios, você saberia encontrar uma situação em que a reflectância se anula ou fica muito próxima de zero? Esse tipo de situação existe: é assim que funcionam as lentes anti-reflexo, que são tratadas por um processo de deposição de filme fino sobre sua superfície.

Figura 2: Caso em que temos incidência normal, com e .

Esses resultados foram todos obtidos usando o programa gratuito Gnuplot_5.0, que, na minha opinião, é maravilhoso. O script que escrevi você pode baixar aqui: script em Gnuplot. É fácil instalar esse programa em Linux, Windows e OS X. Visite o site: www.gnuplot.info.

É importante notar que o script que disponibilizei usa as expressões complexas que calculamos aqui, de forma que você agora pode experimentar à vontade modificando os valores dos índices de refração e do ângulo de incidência. É interessante, por exemplo, fazer gráficos em função do ângulo de incidência para diversas escolhas de índices de refração. Veja que também é possível reproduzir os resultados para apenas dois meios dielétricos, bastando, para isso, escolher Para o caso de obter o efeito anti-reflexo do exercício acima, escolha os índices de refração assim: e com incidência em torno de (veja o exercício 18-10 do livro [1] da bibliografia abaixo). Você vai ver que isso zera

Eu confesso a você que me diverti muito trabalhando nesta postagem, que é uma atualização de antigas notas de aula que eu preparei há muitos anos atrás. Espero que você se divirta também como eu, usando e abusando do script e desta postagem! Para mais discussão sobre as aplicações dos resultados aqui expostos, recomendo a leitura das páginas 405-407 da bibliografia abaixo [1].

😎

Bibliografia

[1] John R. Reitz, Frederick J. Milford e Robert W. Christy , Foundations of Electromagnetic Theory, terceira edição (Addison-Wesley Publishing Company, 1979).

Recomendo também a leitura das postagens a seguir:

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