A Reação da Radiação

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Uma partícula carregada emite radiação de energia, momentum e momentum angular quando acelerada e, portanto, sofre uma força de reação à emissão radiativa. Abraham, em 1903, e Lorentz, em 1904, propuseram uma teoria em que o momentum de uma partícula carregada tem origem completamente eletromagnética. Assim, a lei de conservação de momentum linear envolvendo campos e matéria, na teoria de Abraham-Lorentz, não apresenta o termo com momentum mecânico, apenas o termo envolvendo o momentum eletromagnético. Como os campos nessa lei são os campos totais presentes em uma região na ausência de momentum mecânico, a lei é equivalente a

Devemos lembrar que o balanço de momentum foi obtido igualando essa equação à variação do momentum mecânico da matéria dentro da região Agora, a região será tomada como o interior de uma partícula de carga total uniformemente distribuída. Além disso, será tomada como uma esfera de raio Os campos totais podem ser decompostos em uma contribuição da própria partícula e de fontes externas à distribuição de carga em A força externa sobre a partícula é, portanto, escrita como

onde e são os campos externos à partícula. Para uma partícula localizada em uma região em que os campos externos variam muito pouco, podemos escrever

Os campos devidos à própria partícula serão denotados por e Portanto, podemos escrever:

já que não há momentum mecânico atribuído à partícula nessa teoria. Tomemos a partícula como instantaneamente em repouso no instante Então,

O campo no interior da partícula de carga total pode ser visto como a superposição de cada elemento de campo produzido por cada elemento de carga da partícula. Estaremos sempre supondo que cada elemento de carga tenha sempre a mesma velocidade em cada instante de tempo pois a hipótese é de uma distribuição de carga esférica rígida. Fixemos o instante de tempo quando a partícula está em repouso com relação ao referencial do laboratório e, portanto,

no instante fixo mas não necessariamente em outros instantes. Nesse instante de tempo fixo, podemos escrever

O campo elementar produzido por um elemento de carga que descreve uma trajetória é deduzido a partir dos potenciais de Liénard-Wiechert e o resultado é

onde

e

Para o cálculo do campo elétrico no interior da partícula de raio vemos que difere de por um intervalo de tempo não maior do que que dá a ordem de grandeza do tempo que leva para um sinal luminoso cruzar a partícula. Como a partícula é um modelo para o elétron, será tomado como muito pequeno e será suposto como um intervalo de tempo curto o suficiente para que a posição, a velocidade, a aceleração e outras derivadas superiores da posição da partícula não tenham sido alteradas apreciavelmente. Em outras palavras, vamos supor que

etc., para todo instante de tempo. Consideremos uma função qualquer de Então, podemos expandir

Em especial, até ordem

Mas,

Em particular, porque

e, portanto,

Iterando essa expressão e mantendo termos até ordem obtemos

isto é,

Mas,

e, assim,

De forma análoga, podemos calcular

e, com isso,

Logo,

Assim, usando como notação

e

obtemos

já que, por hipótese,

pois, obviamente,

De forma análoga, também temos

pois estamos supondo que, no instante fixo

e

isto é,

Agora temos o denominador:

Usando o resultado acima,

vem

Vamos considerar termos até a ordem Na expressão do campo elétrico, aparece o termo

Com as aproximações acima, segue

e, também, até ordem

Notemos que desprezamos porque

que é da ordem de O outro termo do campo elétrico é

Calculemos cada um até ordem

e

Assim, obtemos

A partir de agora, para não termos que lidar com calculado em utilizaremos a expressão aproximada que deduzimos acima, isto é,

Também devemos utilizar

que, com a aproximação para acima e mantendo termos até ordem pode ser escrita como

e, portanto,

Em especial, o termo de Coulomb escreve-se, até ordem

Assim, a partir de agora, denotaremos:

e

Com isso e mantendo termos até ordem

Então, a força externa sobre a partícula agora pode ser escrita como

Dada a simetria esférica da distribuição de carga na partícula, podemos tomar a origem no centro da partícula e escrever

e

Também, sem perda de generalidade, podemos tomar o eixo ao longo do sentido de por exemplo. Assim,

A componente dessa integral dupla pode ser escrita como

que troca de sinal se trocarmos por e vice-versa. Como a mudança de variáveis de integração não pode alterar o resultado da integral, vemos que essa componente se anula. Um raciocínio análogo leva à conclusão de que a componente da integral

também se anula, restando apenas a componente que não muda de sinal quando trocamos por e vice-versa. Portanto,

Além disso, por causa da simetria esférica, também podemos escrever

e, portanto,

Logo,

Além disso, por causa da simetria esférica, também decorre que

Com esses resultados, a força externa aplicada à partícula expressa-se como

É importante notarmos que a integral dupla restante no membro direito dessa equação é a energia eletrostática armazenada na partícula:

Logo,

que é a chamada equação de Abraham-Lorentz. Como vemos, a energia eletrostática armazenada na partícula corresponde a uma massa dada pela relação

e, na presente teoria, o fator indica a inadequação deste tratamento. O termo proporcional à derivada da aceleração descreve a reação radiativa da partícula.

Se, no referencial de repouso da partícula, sua energia fosse dada por então, como nesse referencial seu momentum seria nulo, em um referencial com velociade relativa a partícula deveria ter uma energia e momentum como se sua massa de repouso fosse sem o fator No cálculo de Abraham-Lorentz acima, a energia de repouso se refere a um referencial diferente do referencial do laboratório, que é o referencial do campo elétrico utilizado nos cálculos acima. O cuidado necessário com as devidas transformações de Lorentz elimina o erro, mas essa é outra história que ainda não contei.

😎

Música desta postagem: Jeux d’eau de Maurice Ravel, por Stephen Kopp

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1 Comentário for A Reação da Radiação

  1. Cora said,

    junho 15, 2010 @ 15:23

    Fiquei triste com a conclusão desta aula rs
    Como se o último episódio da novela não tivesse sido contado.
    Mas já é um resultado muito legal!

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