A radiação de uma distribuição de cargas em movimento

A radiação eletromagnética é produzida por cargas aceleradas. Nesta postagem vamos ver como esse processo radiativo acontece no caso de um sistema de cargas em movimento. Há algumas considerações que precisam ser feitas, como a hipótese de que a distribuição permanece espacialmente localizada, mas, em essência, a abordagem a seguir é bastante geral para a dinâmica clássica e não relativística das cargas.


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A primeira hipótese que fazemos é que as cargas estão sempre localizadas dentro de uma região limitada do espaço. Consideramos que a distribuição de cargas está tão distante do ponto de observação, , que temos

para todo

Dessa forma, podemos expandir

como somas infinitas em potências de

Aqui usamos a notação

Temos, assim,

Definimos, agora,

e

Claramente vemos que

já que

por hipótese. Sendo assim, consideramos a série de Taylor em torno de zero para a função :

Vamos aproximar a função até a segunda ordem em

Assim, já é um polinômio dessa ordem e precisamos desprezar termos de ordens superiores em apenas, já que as outras potências mais altas de devem ser desprezadas por conterem somente termos de ordens superiores à segunda ordem de

Portanto,

Com isso, obtemos

Usando

também podemos escrever

com

De forma análoga, temos

Assim, escrevemos

Nesse ponto definimos

e

Vemos, portanto, que é da ordem de

e, portanto, podemos expandir a densidade de carga como uma série de potências em como segue:

Notamos também que

e, como

podemos escrever

e, portanto,

Como as cargas estão sempre dentro da região limitada , suas trajetórias devem ser tais que as velocidades tangenciam a fronteira de , com componentes normais nulas exatamente sobre a fronteira. Podemos imaginar que tais trajetórias podem ser decompostas, aproximadamente, em movimentos periódicos tangentes e normais à fronteira de . Como estamos supondo partículas não relativísticas, suas velocidades são muito menores do que e, portanto, as frequências dos movimentos que compõem suas trajetórias devem ser tais que satisfazem

Em termos de sua transformada de Fourier temporal, a densidade de carga em pode ser escrita como

Portanto, para velocidades não relativísticas,

até ordem

onde é a velocidade máxima na distribuição de cargas em movimento. Assim,

Agora, a Eq. (2) fica

que, juntamente com a Eq. (1), fornece o integrando para o cálculo do potencial escalar:

que é válida para distribuições cujas cargas têm velocidades pequenas quando comparadas com a velocidade da luz. Para simplificar, vamos manter apenas termos até a primeira ordem em

Como é proporcional a

conforme calculamos acima, quando multiplicado por

resulta em um termo de segunda ordem em

que desprezamos. Assim, as somas em somente contribuem com o termo em que e temos

Na primeira soma em , tanto o termo com como o termo com contribuem, mas a segunda soma somente contribui com o termo com para a expansão até a primeira ordem em

do quociente acima. Assim,

O potencial escalar pode ser escrito, finalmente, como

Como as cargas estão confinadas na região e há conservação de carga, segue que

onde é a carga líquida total em . Também reconhecemos as outras integrais como sendo o dipolo elétrico da distribuição

Logo,

quando

onde

Agora devemos calcular uma expansão para o potencial vetorial. Analogamente ao procedimento que seguimos anteriormente, temos

que, desprezando ordens superiores à primeira de

resulta em

Então,

Consideremos a identidade vetorial

Assim,

Calculemos:

Agora, consideremos

Portanto, substituindo esse resultado na Eq. (4), obtemos

Substituindo esse resultado na Eq. (3), concluímos que

ou seja,

Definimos o momento de dipolo magnético da distribuição como

Definimos, também, o objeto

que é o que se chama díade. Essa díade está relacionada com o momento de quadrupolo elétrico da distribuição. Para entendermos como é essa relação, escrevemos

onde os produtos

são chamados produtos diádicos; notemos que não há ponto entre cada vetor do produto e os vetores são simplesmente escritos um ao lado do outro. No produto diádico, a ordem é importante, pois o produto diádico não é comutativo, já que, em geral, para qualquer vetor , temos

e

A integral acima pode ser escrita em termos do momento de quadrupolo elétrico:

que pode ser reescrita como

onde definimos o tensor quadrupolar elétrico instantâneo como na eletrostática, isto é,

e introduzimos a quantidade

que é igual ao traço da matriz cujos elementos são as integrais

Assim, podemos escrever

onde

e

que é a identidade diádica, já que, para qualquer vetor , temos

Voltemos agora ao cálculo do potencial vetorial, utilizando os resultados acima. Logo,

Para simplificar o primeiro termo, calculemos, por exemplo,

Se utilizamos o teorema da divergência de Gauss, obtemos

pois, como as cargas e correntes estão confinadas na região ,

sobre a fronteira de . Logo,

No entanto, utilizando a equação da continuidade, temos

e obtemos

Assim,

Para o cálculo do campo elétrico, precisamos da derivada temporal do potencial vetorial, isto é,

e do gradiente do potencial escalar, isto é,

O campo elétrico de radiação, definido como sendo apenas a parte que varia com o inverso de , pode ser escrito como

Calculemos:

Portanto,

onde já desprezamos todos os termos que variam com o inverso de . Comparemos

e

Mas,

onde é o campo de velocidades das partículas carregadas na região . Assim, comparativamente, o momento de dipolo magnético dividido por é uma ordem menor do que o momento de dipólo elétrico. Analogamente, comparemos

e

Mas,

e

Então,

Assim, comparativamente, o termo

dividido por é uma ordem menor do que o momento de dipolo elétrico. Podemos, portanto, desprezar os termos envolvendo e

e o campo elétrico de radiação fica

Para sermos consistentes, devemos adotar os potenciais de radiação:

e

já que os outros termos não contribuem para os campos de radiação, que, por definição, devem variar com o inverso de . Logo,

Agora podemos calcular o vetor de Poynting:

A distribuição angular da potência irradiada pode ser obtida da expressão

Finalmente, integrando sobre todas as direções do espaço, temos a potência total emitida pela distribuição, ou seja,

onde escolhemos o eixo ao longo do sentido de . Logo,

onde fizemos

Como

segue

Em particular, para uma só carga pontual, com trajetória dada por , o momento dipolar elétrico é dado por

e, portanto,

ou seja, a potência total irradiada por uma partícula é proporcional ao quadrado da aceleração. Essa é a chamada fórmula de Larmor.

😎

Bibliografia

[1] John R. Reitz, Frederick J. Milford e Robert W. Christy , Foundations of Electromagnetic Theory, terceira edição (Addison-Wesley Publishing Company, 1979).

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