A radiação de um dipolo oscilante

Como um exemplo de aplicação dos potenciais retardados no calibre de Lorentz, vamos calcular a potência irradiada por um dipolo oscilante. Nesta postagem você vai encontrar uma riqueza de detalhes e uma abundância de passagens algébricas que não são vistas nos livros-texto usualmente. Espero que você goste.


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Consideremos duas esferas carregadas com cargas e , localizadas nos pontos e , respectivamente, conectadas por um fio ao longo do eixo . Se as cargas variarem no tempo, segue que deverá haver corrente através do fio conectando as esferas, já que a carga é conservada. Assim,

indicando que a corrente será positiva quando a carga em aumentar algebricamente. Nesse caso,

já que somente a componente da densidade de corrente não é nula. Utilizando o potencial vetorial retardado, escrevemos

Suponhamos que

Nesse caso, podemos fazer a seguinte aproximação:

onde

Logo,

Como

podemos desprezar a quantidade

que aparece entre parênteses no integrando. No entanto, no argumento da corrente, o termo

somente pode ser desprezado frente a se a corrente variar muito pouco durante o tempo dado por esse termo. Supondo que a corrente seja periódica, podemos expandi-la em série de Fourier. Vamos também supor que o período da corrente seja muito maior do que o tempo acima e, portanto, teremos

ou seja,

onde é o comprimento de onda da radiação emitida pelo dipolo oscilante. Portanto, se o dipolo for muito menor comparado com o comprimento de onda e o ponto de observação for muito distante do dipolo, segue:

Usando o calibre de Lorentz,

Como a corrente é a derivada temporal da carga,

Agora introduzimos as funções para a carga e a corrente:

Em coordenadas polares esféricas,

e

Como

temos

Logo,

Agora basta calcularmos os campos:

e

onde

e

Logo,

ou seja,

O vetor de Poynting é dado por

onde definimos

e

Logo,

com

Assim,

cuja integral sobre uma superfície esférica de raio é dada por

Mas,

Então,

Quando a superfície esférica tiver o raio muito grande, teremos o resultado

Como a corrente é dada por

definimos a amplitude da corrente como

Assim,

Em média, a potência irradiada é, portanto, dada por

Convencionalmente, podemos escrever

Como uma resistência sendo atravessada por uma corrente dissipa uma potência média

definimos a resistência de radiação de um dipolo como


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😎

Bibliografia

[1] John R. Reitz, Frederick J. Milford e Robert W. Christy , Foundations of Electromagnetic Theory, terceira edição (Addison-Wesley Publishing Company, 1979).

Recomendo também a leitura das postagens a seguir:

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2 Comments for A radiação de um dipolo oscilante

  1. noel araujo said,

    outubro 23, 2016 @ 15:14

    Ao calcular o pontecial usando o calibre de Lorentz a derivada sobre a corrente esta errada.

    Quando é feito a derivada parcial de foi feito corretamente a derivação levando em conta o fator dentro de . O erro acontece ao escrever a derivada parcial, esta escrito:

    Mas deveria a derivada é em z, então deveria ser:

  2. reginaldo said,

    outubro 24, 2016 @ 17:03

    Olá Noel,
    Veja a expressão de novo. Você vai notar que é exatamente igual ao seguinte:

    usando a regra da cadeia. Afinal, a derivada do argumento temporal é o que você faz quando deriva com relação ao tempo retardado e depois deriva o tempo retardado com relação a z. Em outras palavras:

    Mas, de forma análoga,

    É só usar a regra da cadeia!
    Grato deveras pelo comentário! Valeu!

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