A pressão de um gás segundo a teoria cinética da matéria

A pressão de um gás sobre as paredes de seu recipiente é a força por unidade de área que o gás exerce sobre essas paredes. Que força é essa? Ora, é a força resultante das moléculas do gás batendo sobre as paredes. Como são tantas as moléculas que atingem as paredes simultanea e constantemente, os resultados de nossas medidas mostram que a pressão é constante no tempo. A teoria cinética da matéria usa um modelo de partículas em movimento para descrever as moléculas de um gás e, com isso, prevê que a pressão é dada por dois terços da energia cinética média das moléculas do gás por unidade de volume, isto é,

onde é a energia cinética média das moléculas do gás e é o volume ocupado pelo gás e, portanto, é o volume de seu recipiente. Meu objetivo aqui é mostrar como deduzir esse resultado de uma maneira extremamente clara.

Olhemos um pedacinho da parede do recipiente. Se o pedacinho for suficientemente pequeno, poderemos aproximá-lo por seu plano tangente e poderemos escolher o sistema de coordenadas de tal forma que esse pedacinho da parede, aproximadamente plano, seja paralelo ao plano desse sistema de coordenadas (escolhido a dedo para isso). Seja o eixo escolhido de tal forma que aponte para fora do recipiente na região do pedacinho de parede em foco, que tomaremos como tendo área Precisamos calcular a força que as moléculas exercem ao se chocarem com esse pedaço de área da parede e, dividindo por essa área, encontraremos a pressão do gás que procuramos.

Suponhamos que no volume do recipiente, haja moléculas idênticas, cada uma de massa Dessas moléculas, quantas têm velocidades cujas componentes estejam nos intervalos e Vamos denotar esse número como Você certamente vai concordar comigo que, se e forem pequenos o suficiente, então esse número será proporcional a cada um desses incrementos, isto é,

Vamos denotar a constante de proporcionalidade por Assim,

Se somarmos todos esses números para todas as velocidades possíveis, e tomarmos o limite quando os incrementos e tendem a zero, o resultado será o número total de moléculas, Assim, como essa soma resulta em uma integral de Riemann, podemos escrever:

O gás é isotrópico e homogêneo, por hipótese. Isso significa que as propriedades cinéticas do gás não dependem do ponto interno ao recipiente e todas as direções são equivalentes. Assim, o número de moléculas com uma determinada velocidade só varia com o módulo da velocidade e é o mesmo em qualquer ponto do gás. Logo, ao invés de escrever podemos escrever onde é o módulo da velocidade, isto é,

Portanto,

Em coordenadas polares esféricas, no espaço de eixos e também podemos escrever

Assim, o número de moléculas com velocidades que fiquem em um pequeno elemento de volume em torno do vetor de lados dados por e pode ser escrito como

Os ângulos aqui devem ser interpretados como sendo tais que

e

A utilidade dessa abordagem pode ser ilustrada se calcularmos o valor médio da componente por exemplo. Para isso, multiplicamos pelo número integramos sobre todos os valores de velocidade e dividimos pelo número total de moléculas,

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Mas

e

isto é,

Assim,

Podemos relacionar esse resultado com isto é,

isto é,

ou seja,

Logo, vemos que

É um exercício enriquecedor para você mostrar que, também,

Do ponto de vista do pedacinho de parede com área há moléculas vindo de todas as direções internas ao recipiente e com todas as magnitudes de velocidade. Todas as direções são equivalentes, pois o gás é isotrópico. Vamos considerar agora apenas as colisões de moléculas que venham com velocidade fazendo um ângulo com o eixo e um ângulo com o eixo isto é,

e

Durante um intervalo de tempo curto, quantas moléculas com esses ângulos colidem contra o pedaço de parede com área Uma molécula, com essa velocidade, caminha, ao longo da direção uma distância igual a Então, acompanhe meu raciocínio com atenção. Seja o instante atual e suponhamos que agora mesmo acabamos de observar um certo número de moléculas, com velocidade fazendo um ângulo com o eixo e um ângulo com o eixo colidirem contra o pedaço da parede com área Suponhamos que isso tenha sido filmado e que possamos rodar esse filme para trás. Se acompanharmos as trajetórias retrocedentes somente dessas moléculas que colidiram com a velocidade no instante veremos que essas moléculas tinham estado, no instante em uma área igualzinha à área do pedaço da parede onde bateram em Só que a área em estava afastada da parede de uma distância paralelamente ao plano do pedaço de parede considerado. Podemos ver que o volume entre essas duas áreas, varrido pelas trajetórias dessas particulares moléculas, é dado por O número de partículas com velocidade de módulo entre e fazendo um ângulo com o eixo entre e e um ângulo azimutal entre e é dado, como vimos, por

dentro do volume total, do recipiente. No volume entre as duas áreas acima, que contém apenas as partículas que colidem no instante fazemos uma regra de três e obtemos:

Esse é o número de moléculas que colidem dentro de um intervalo de tempo com as velocidades de módulos entre e fazendo ângulos com o eixo entre e e ângulos azimutais entre e

Precisamos saber agora qual é a variação de momentum que uma dessas moléculas acima transfere para a parede em Inicialmente, ao longo do eixo a componente de momentum é dada por Logo após a colisão com a parede, supondo uma colisão elástica, a componente de momentum ao longo do eixo inverte e a molécula fica com A variação de momentum da molécula é, portanto, Pela terceira lei de Newton, a parede recebe uma variação de momentum igual a Multiplicando esse resultado pelo número de partículas calculado acima, temos a variação de momentum recebida pela parede na região de área

Agora devemos somar a contribuição de todas as velocidades, em todos os ângulos possíveis e a variação total de momentum absorvida pela parede, na área é dada por

Note que a integração sobre vai de até e não até porque as partículas com são aquelas que já colidiram com a parede e estão voltando em direção ao interior do recipiente. Então,

Mas

e

Logo,

isto é,

Como vimos acima,

e, portanto,

A força sobre o pedacinho da parede com área é dada pelo quociente entre a variação de momentum absorvido por esse elemento de área, e o intervalo de tempo durante o qual essa troca de momentum ocorre:

Sendo assim, a pressão é essa força dividida pela área

A energia cinética média de uma só molécula do gás é, obviamente,

A energia cinética média de todas as moléculas é, portanto,

Essa equação fornece:

e, assim,

como antecipado lá no começo. 😎

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