A lei de Gauss afirma que o fluxo do campo elétrico total através da fronteira de uma região do espaço é igual ao valor total de carga no interior dessa região, dividido pela permissividade elétrica do vácuo, no sistema internacional de unidades. Nesta postagem vamos calcular esse fluxo explicitamente.
Vamos considerar uma região do espaço, cuja fronteira é a superfície fechada
Vamos imaginar que haja uma carga pontual de valor
no interior da região
Escolhamos a origem do sistema de coordenadas sobre a carga
A figura abaixo ilustra essa situação.
Agora vamos escolher um elemento de área, da superfície
e tomar um ponto
como sendo um vértice desse elemento de área. Podemos definir o vetor posição do ponto
como sendo
como mostra a figura abaixo.
O pequeno elemento de área escolhemos de tal forma que dois de seus lados, partindo do vértice em
sejam ortogonais, um no plano
e o outro no plano
de um sistema de coordenadas esféricas centrado na origem
Note que qualquer partição da superfície
pode ser obtida com elementos de área exatamente assim, com dois lados sempre ortogonais e contidos, respectivamente, nos planos
e
Note também que, para cada ponto
dada uma origem
há um vetor posição
e, dado um sistema de coordenadas, podemos definir, para cada ponto
planos
e
mutuamente ortogonais, cuja interseção dos três é o ponto
É evidente que podemos traçar uma superfície esférica centrada na origem e de raio
como na figura abaixo.
Vamos nos atentar só para o elemento de área e, portanto, vamos esquecer o restante da superfície
como mostra a figura a seguir.
Podemos, agora, fazer uma ampliação da região do elemento de área como indicado na figura abaixo.
Veja que, na figura, pela maneira que escolhemos os vetores e
ortogonais entre si, o primeiro pertencendo ao plano
e o segundo pertencendo ao plano
fica evidente que podemos escrever
e
As quantidades e
são as componentes ao longo de
desses vetores infinitesimais,
e
respectivamente. Na figura,
é o versor normal à superfície
nas vizinhanças do ponto
Fica claro da figura e das propriedades do produto vetorial que
Note que, em geral, o versor normal, não é paralelo ao versor radial,
Agora podemos calcular o fluxo do campo elétrico devido à carga na origem
através do elemento de área
já usando a relação acima entre o elemento de área e os vetores
e
Vamos, então, calcular o produto vetoria entre
e
Portanto,
e o fluxo do campo elétrico sobre o elemento de área dá
Veja que no numerador cancela
no denomidador e o elemento de fluxo fica independente de
Isso quer dizer que, independentemente da forma da superfície
porque o campo elétrico varia com o inverso do quadrado de
segue que a projeção de cada elemento de área
da superfície
sobre a superfície de uma esfera de raio unitário, centrada em
contribui para o fluxo exatamente o mesmo valor que o elemento de área
contribui. Por causa disso, a integração do fluxo sobre toda a superfície
fica só uma integral dupla nas variáveis angulares, cobrindo a esfera de raio unitário centrada na origem:
isto é,
ou seja,
Mais abaixo vou explicar por que isso vale até quando a superfície não é convexa, como é o caso da que estamos considerando aqui. Ah, falta eu dizer o que é uma superfície convexa: é toda superfície que, quando atravessada por uma linha reta, só é “perfurada” em dois pontos. Veja que esse não é o caso de nossa superfície
das figuras acima.
Quando temos uma distribuição de cargas pontuais dentro da região usamos o princípio de superposição e mostramos que o fluxo do campo elétrico resultante dessa distribuição é igual ao valor algébrico total da carga dentro da região
dividido por
Por valor algébrico entendemos o total obtido quando as cargas positivas são somadas e as negativas são subtraídas.
E o que acontece se uma carga pontual estiver fora da região É simples: o fluxo do campo elétrico dessa carga externa será nulo. Para ver isso, note que vai haver uma abertura angular em
e outra em
resultando em um ângulo sólido
que vai conter totalmente a região
conforme é vista da origem, agora escolhida sobre a carga externa a
Veja a figura abaixo.
Uma parte da superfície terá a normal fazendo um ângulo menor que
com o sentido de
dando
em cada ponto dessa parte, enquanto que outra parte da superfície
terá a normal fazendo um ângulo maior do que
com o sentido de
dando
em cada ponto dessa outra parte. (É claro que em pontos onde
não há contribuição para o fluxo, pois nesse caso o campo elétrico é tangente à superfície
nesses pontos.) Essas duas partes terão a mesma projeção sobre uma esfera de raio unitário centrada em
Logo, como o fluxo do campo elétrico sobre cada elemento de área independe de
cada lado da superfície
vai contribuir com o mesmo valor absoluto para o fluxo do campo elétrico, só que com sinais opostos e, assim, o fluxo total será nulo.
Essa figura também deixa claro por que o fluxo através da superfíce que não é convexa, pode ainda ser calculado como o fizemos: a parte não convexa vai ter sempre um número ímpar de elementos de área ao longo das direções radiais passando pelos pontos dessa parte não convexa. Um deles fará uma contribuição líquida como vimos, enquanto os outros vão se cancelar mutuamente. Por exemplo, ainda nessa figura, se escolhermos colocar a carga
logo dentro de
pertinho do ponto
(mas dentro de
), fica fácil ver que vai haver direções radiais cruzando
três vezes. Veja a figura abaixo.
Duas vezes teremos a normal fazendo um ângulo menor do que com o versor radial, enquanto o cruzamento do meio fará um ângulo maior do que
resultando em apenas uma contribuição não nula e positiva para o fluxo elétrico, já que as três contribuições, pelo que vimos, têm o mesmo valor absoluto. Na figura que segue ainda mostro mais uma situação, para uma outra superfície fechada não convexa.
A consequência é que o fluxo do campo elétrico total sobre uma superfície fechada é igual à carga total dentro da região
de fronteira
dividida por
independentemente se esse campo elétrico também é parcialmente gerado por cargas externas a
E assim deduzimos a lei de Gauss.
Resumindo,
onde é o campo elétrico total sobre cada ponto da superfície fechada
e
é o valor algébrico total de carga interna à região
cuja fronteira é dada pela superfície fechada
É importante notar que as cargas externas a
contribuem para o valor de
mas não contribuem para o valor do fluxo de
através de
😎
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Pensei que já tinha visto todas as demonstrações desta lei, mas tu me mostras que não.
Excelente postagem! 🙂
Olá, Ítalo!
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Tudo de bom!
reginaldo