A hipérbole

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Considere dois pontos, e sobre o eixo separados por uma distância Seja uma distância fixa tal que Considere o ponto do plano tal que

O lugar geométrico de todos os pontos do plano que satisfazem a equação acima é uma curva plana chamada hipérbole. Agora vou deduzir a equação da hipérbole em coordenadas cartesianas. Para isso, sejam e Então,

isto é,

Elevando ambos os membros dessa equação ao quadrado, vem

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Elevando ambos os membros dessa equação ao quadrado, obtemos

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Seja

Então, a equação da hipérbole em coordenadas cartesianas é escrita como

Veja que essa equação fornece dois pontos em que a parábola corta o eixo e Além disso, como função de tem dois ramos:

Para simplificar a análise, vou passar a considerar somente o ramo positivo:

Coordenadas polares com a origem no foco

Neste caso, a correspondência entre o sistema de coordenadas cartisianas acima e o de coordenadas polares com distância medida a partir do foco é dada por

e

pois é a distância de um ponto da curva até o foco isto é,

Como o ramo positivo é dado por

substituindo e em termos das coordenadas e como definidas acima, obtemos

Elevando ambos os membros dessa equação ao quadrado, vem

isto é,

ou seja,

Mas,

Logo,

Dividindo ambos os membros dessa equação por

As soluções para são, portanto,

isto é,

ou seja,

Assim,

Vamos definir a excentricidade da hipérbole como

Sendo

vem

isto é,

No ramo positivo,

quando deve assumir o valor e, portanto, neste caso, e Nossa equação, quando fornece:

Logo, vemos que apenas quando escolhemos o sinal negativo é que obtemos o resultado para o ramo positivo:

Assim, a equação do ramo positivo da hipérbole fica

onde é medido a partir do foco A figura a seguir ilustra um trecho dessa curva.

Coordenadas polares com a origem no foco

Neste caso, a transformação de coordenadas é dada pelas equações:

e

O ramo positivo,

resulta em

Quadrando, dá

isto é,

ou seja,

Logo,

isto é,

ou seja,

Assim,

No ramo positivo,

quando deve assumir o valor e, portanto, neste caso, e Nossa equação, quando fornece:

Logo, vemos que apenas quando escolhemos o sinal positivo é que obtemos o resultado para o ramo positivo:

Assim, a equação do ramo positivo da hipérbole fica

onde é medido a partir do foco A figura a seguir ilustra um trecho dessa curva.

😎

Música desta postagem: Polonaise in A-flat major Op. 53 (“Heroic”) de Frédéric Chopin, por Wui-Ming Gan

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