A geometria do espaço-tempo

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Uma revisão da cinemática e da dinâmica relativísticas

Uma transformação de Lorentz deixa invariante o intervalo entre dois eventos, e do espaço-tempo. Em um referencial inercial o intervalo entre esses dois eventos é definido como

onde o evento ocorre no instante e no ponto e o evento ocorre no instante e no ponto Assim, em um outro referencial inercial o intervalo entre os eventos e é também isto é,

onde, para os observadores em o evento ocorre no instante e no ponto o evento ocorre no instante e no ponto e é a magnitude da velocidade da luz no vácuo. Um exemplo de transformação de Lorentz muito comum é a chamada boost de Lorentz ao longo do eixo

onde

Aqui, é a velocidade relativa entre os referenciais e e, portanto, pode ser uma constante positiva ou negativa.

A força de Lorentz sobre uma carga puntiforme é escrita como

no sistema CGS, ou

no sistema MKS, onde

é o vetor posição da carga no instante . A Segunda Lei de Newton continua válida na dinâmica relativística quando escrevemos

onde

e

com sendo a massa de repouso da partícula. Portanto, a chamada “parte espacial” da força fica

no sistema CGS, ou

no sistema MKS. ¿Existe uma “parte temporal” da força, que seja sua “companheira” de transformação de Lorentz, assim como o tempo é o “companheiro” do espaço no “boost” de Lorentz acima?

Para responder a essa questão, consideremos o momentum e sua “companheira”, a energia :

Notemos que não é a energia cinética. A energia cinética é . Temos

Como é um valor fixo em qualquer referencial inercial, concluímos que e se transformam exatamente como tempo e posição, respectivamente. Assim, vemos que é a “companheira” do momentum em transformações de Lorentz. No entanto,

não se transformam como e pois não é invariante por transformações de Lorentz. Como o tempo próprio da partícula, , é o mesmo em qualquer referencial inercial, podemos definir o par

Essa dupla de quantidades se comporta como tempo e espaço em transformações de Lorentz.

O tempo próprio é o tempo no referencial de repouso instantâneo da partícula, com a origem sobre a partícula. Notemos que o referencial de repouso instantâneo da partícula é aquele que, no instante de tem velocidade em supondo que escolhamos os referenciais e com seus eixos e ao longo da velocidade instantânea da partícula. Fixando o referencial com velocidade constante calculada em relativamente a podemos utilizar o boost de Lorentz acima e escrever

e

resultando em

Como sempre podemos escolher os eixos dos referenciais ao longo da velocidade da partícula, de forma geral,

Logo,

e

Para simplificar a notação nesse contexto, sejam

e

Podemos considerar também a derivada

Obviamente, a “companheira” dessa quantidade em transformações de Lorentz é

Temos, portanto, as relações

e

É conveniente definirmos

e

Logo,

e

Com essas definições, podemos escrever

no sistema CGS, ou

no sistema MKS, onde usamos

Também temos

Da equação

obtida acima, calculamos que

ou seja,

resultando em

tanto no sistema CGS como no sistema MKS.

Resumindo, as equações dinâmicas para a partícula podem ser expressas por

tanto no sistema CGS como no sistema MKS, e

no sistema CGS, ou

no sistema MKS.

A geometria do espaço-tempo

Vamos utilizar a seguinte notação:

e

Com essa notação, o “boost” de Lorentz ilustrado acima pode ser escrito como

e

Em termos matriciais, temos

Como, nesse caso, a transformação de Lorentz inversa é obtida pela troca de por , obtemos

Com o exemplo acima em mente, no caso de uma transformação de Lorentz geral, cujos elementos da matriz de transformação são para podemos escrever

onde já estamos utilizando a convenção de Einstein, isto é, subentendemos uma soma sobre o índice de a pois aparece repetido no mesmo termo da expressão. É importante também o fato de figurar como um subscrito em enquanto aparece como um sobrescrito em A razão para esses dois tipos diferentes de índices decorre do sinal de menos na definição do intervalo entre dois eventos, como explicado acima. Assim, é conveniente definirmos dois conjuntos de coordenadas espaço-temporarais: as contravariantes, como já vimos,

e as covariantes, com a mudança de sinal das componentes espaciais contravariantes,

Com essa notação, para dois eventos infinitesimalmente próximos o intervalo é dado por

Podemos, também, definir uma matriz, com elementos que abaixa os índices:

onde

O intervalo, portanto, também pode ser escrito como

Com essa notação, podemos escrever

já que é um invariante. Mas,

Como

segue que

para qualquer escolha de e Escolhamos Então, necessariamente,

Escolhendo, agora, segue

De forma análoga, deduzimos também que

e

Tomemos, então, Nesse caso, temos

e, dos resultados acima, concluímos que

Como

segue que

e, portanto, de

vem

isto é,

Com escolhas análogas de , deduzimos, finalmente, que

Aqui é conveniente definirmos a matriz com elementos dada por

É fácil vermos, agora, que

onde é a delta de Kronecker. É evidente que temos

Portanto, escreveremos sempre ao invés de ou Multipliquemos, então, ambos os membros da equação

por e somemos sobre Logo,

Definamos:

e

Assim,

e, portanto, a inversa da matriz com elementos é a transposta da matriz com elementos

Também denotaremos:

e

Porque a lei de transformação para as componentes contravariantes é, como vimos,

segue que a lei de transformação para as componentes covariantes fica

Mas, multiplicando por e somando sobre a primeira dessas duas equações, vem

ou seja,

e, portanto,

Analogamente, podemos inverter também a equação

obtendo

Então,

mostrando que são componentes contravariantes, o que justifica o uso do sobrescrito. Analogamente,

justificando o subscrito, já que as componentes se transformam de acordo com a lei para componentes covariantes. Além disso, podemos observar que

e, analogamente ao raciocínio usado anteriormente, concluímos que

Agora podemos definir o que é um quadrivetor no espaço-tempo. Toda quantidade de quatro componentes, (), é um quadrivetor se, e somente se, transforma-se como (). Assim, se

então () é um quadrivetor se, e somente se,

Com essa definição, fica claro que é um quadrivetor, assim como também o são e . Uma outra observação importante é que dois quadrivetores, e , multiplicados componente a componente, também formam um invariante:

pois

Agora, suponhamos ter uma equação para as componentes de um quadrivetor como segue:

onde e para são as componentes de dois quadrivetores. Mundando de referencial inercial através de uma matriz de transformação de commponentes , temos

e

Tomando as relações inversas, escrevemos

e

A equação

pode ser, então, reescrita como

Logo,

Como

concluímos que

onde

ou ainda,

Mas essa é a relação que define como as componentes de um quadritensor de segunda ordem. Por exemplo, quadritensores de segunda ordem podem ser construídos com uma dupla de quadrivetores assim:

onde e para são as componentes de dois quadrivetores. A transformação de é, obviamente, dada por

É por isso que é natural definirmos a transformação de um quadritensor de segunda ordem geral como acima.

😎

Música desta postagem: Impromptu No. 3 Op. 51 in G-flat major de Frédéric Chopin, por Eric Levine

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6 Comments for A geometria do espaço-tempo

  1. Leonardo Andreta de Castro said,

    maio 18, 2010 @ 9:39

    ¿E não é que você usou o ponto de interrogação invertido? O espanhol funciona como html: abre tag, fecha tag.

  2. reginaldo said,

    maio 18, 2010 @ 17:44

    Pois é, Leonardo, acho que essa prática do espanhol tem maior utilidade do que simplesmente o sinal no final da sentença. Com o sinal no começo, ficamos avisados de que a sentença é interrogativa ou exclamativa.

  3. » A forma covariante das equações de Maxwell | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    maio 20, 2010 @ 10:30

    […] equações dinâmicas para uma partícula de carga podem ser expressas […]

  4. Cora said,

    junho 9, 2010 @ 19:03

    Oi Professor.
    Eu estava refazendo as contas desta aula, e quando eu chego à expressão (vou colocar em código latex que eu esqueci como que faz pra escrever equações bonitinhas aqui. Peço encarecidamente que o senhor as compile mentalmente, ou copie para o lyx.)
    e não em . A delta diz que será a matriz identidade, ou seja, será igual a 1 quando o índice de coluna do primeiro g (com o índice sobrescrito) for igual ao índice de linha do segundo g (com índice subescrito). Mesmo porque na expressão do professor (que se encontra nesta aula), o \nu nem se encontra nos produtos do g. O senhor repete os ’s e inclui um índice a mais no Delta de Kronecker. É isso mesmo, ou estou equivocada? Obrigadíssimo, Cora.

  5. reginaldo said,

    junho 10, 2010 @ 9:06

    Olá Cora,

    Obrigado pelo seu comentário. Você está correta; já mudei o texto. Era só ali que estava errado?

  6. Cora said,

    junho 10, 2010 @ 12:12

    Então, eu encalhei num passo mais pra frente.
    Até lá não encontrei mais erros.
    Se eu encontrar algum outro, eu falo. \o/

    Cora

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