A fórmula de Feynman e Kac

Audio clip: Adobe Flash Player (version 9 or above) is required to play this audio clip. Download the latest version here. You also need to have JavaScript enabled in your browser.

Em uma postagem recente, mostrei como descrever o movimento browniano através da equação diferencial estocástica de Ito dada por

No entanto, em uma postagem mais antiga, introduzi o movimento browniano como sendo aquele cuja distribuição de probabilidade satisfaz a equação de Fokker-Planck:

onde é a densidade de probabilidade de encontrar uma variável estocástica com valor entre e no instante sendo que essa variável parte da origem, em Qual a conexão entre essas duas descrições? A fórmula de Feynman e Kac responde a essa pergunta.

Branches
Creative Commons License photo credit: MyrteHiss

Suponhamos que

para todo em um instante posterior ao instante atual, onde é a densidade de probabilidade de ter a variável estocástica com valor entre e no instante de tempo Veja que a notação aqui é bem importante: as variáveis estocásticas serão sempre escritas em letras maiúsculas, enquanto seus valores particulares serão escritos nas letras minúsculas correspondentes. Seja o valor atual de conhecido, isto é,

Usando o lema de Ito, calculemos:

Note que aqui aparecem as variáveis estocásticas e não seus valores particulares. As variáveis estocásticas têm várias possibilidades para valores, de forma que uma equação diferencial estocástica, como essa acima, representa um conjunto grande de possibilidades; um conjunto tão grande como a coleção de possíveis valores de Suponhamos que satisfaça a equação

para todo possível Então, consequentemente,

Podemos integrar essa equação diferencial estocástica, entre os limites de integração e e obter

Tomando o valor esperado, obtemos

Como o valor de é conhecido em , segue que

O valor esperado de é nulo em todos os instantes de tempo e é independente de Assim,

Logo, como

para todo segue que

que é a fórmula de Feynman e Kac, conectando uma equação diferencial parcial e uma equação estocástica. Assim, uma vez que satisfaça a equação

segue que será o valor esperado de uma função da variável estocástica satisfazendo a equação

Resta agora explicar a diferença de sinal entre as equações

que deduzi na postagem O preço da bebedeira ou a bebedeira do preço?, e a equação que estou usando no presente argumento, isto é,

Na equação original para o movimento browniano unidimensional,

a condição de contorno (ou, no caso, a condição inicial) é

enquanto que na equação

a condição de contorno é

A diferença entre essas duas situações é que a equação para dá uma evolução da distribuição de probabilidade a partir de um instante prévio até um instante posterior, enquanto que a equação para dá uma evolução para tempos anteriores ao tempo

Alternativamente, suponhamos uma função do tempo que seja o valor esperado de uma função de que satisfaça a equação diferencial estocástica

Agora vou deduzir a equação de Fokker e Planck. Seja a distribuição da variável e seja o valor esperado que procuramos dado por

Assim,

isto é,

ou seja,

ou ainda,

onde usamos a relação

Outra forma de obter é através da média dos incrementos de obtidos pelo lema de Ito:

onde, para simplificar a notação,

Assim, quando, no instante ocorrer o valor

o incremento de a partir daí, no intervalo de tempo será dado por

isto é,

já que, nesse caso,

Esse resultado pode ser interpretado como representando os possíveis incrementos da função a partir de cada ao longo das trajetórias estocásticas passando por durante um intervalo de tempo O valor esperado de um tal incremento de a partir de cada é, portanto,

já que

Em cada o valor esperado de é dado acima. Para sabermos o valor esperado do incremento de irrespectivamente de podemos escrever

já que a probabilidade para estar no intervalo é dada por Mas essa equação deve ser igualada à equação que já apareceu acima, isto é,

Portanto,

Usando integração por partes, podemos escrever

isto é,

pois sempre suporemos que se anule para valores infinitos de Analogamente,

isto é,

onde também sempre suporemos que

para valores infinitos de Logo,

isto é,

Como, desde o início da presente postagem, temos suposto que a função seja arbitrária, obtemos

que é a equação de Fokker e Planck da postagem original sobre movimento browniano em uma dimensão.

😎

Música desta postagem: Andersen’s Tales Op. 30 – 4: The Angel de Sergei Bortkiewicz, por Richard Willmer

Recomendo também a leitura das postagens a seguir:

Uma versão em PDF

Gostou desta postagem? Então clique no botão abaixo e siga o Nerdyard no Twitter! Toda vez que houver uma nova postagem aqui, você saberá imediatamente! :cool:

Siga Nerdyard no Twitter

Melhor ainda: inscreva-se em Nerdyard e receba, por e-mail, o aviso com links para cada nova postagem ou novidade.

Google Groups
Inscreva-se em Nerdyard
Melhor email:
Visite este grupo

NOTE QUE EU ODEIO SPAM COM TODA CONVICÇÃO! :cool:

Dessa forma, não se preocupe: eu juro que jamais fornecerei seu endereço de e-mail ou qualquer outra informação sobre você para ninguém!

Clip to Evernote

Deixe um comentário for A fórmula de Feynman e Kac

Editor de Equações (www.codecogs.com/latex/eqneditor.php)

Para entender como utilizar esse editor de equações, clique aqui.