A fórmula de Euler

Audio clip: Adobe Flash Player (version 9 or above) is required to play this audio clip. Download the latest version here. You also need to have JavaScript enabled in your browser.

Você já conhece bem que é o conjunto dos números reais. Talvez você conheça um pouco que é o conjunto dos números complexos. Não vou fazer aqui toda uma introdução rebuscada aos números complexos; vou apenas deixar um link suficientemente completo e elementar. Deixo o link em inglês porque é mais compreensivo, mas, se preferir, você pode ver o conteúdo análogo em português na Wikipédia. Em essência, os números complexos são todos os reais e mais a unidade imaginária, o número imaginário cuja propriedade que o define é, simplesmente,

Em outras palavras,

Já falamos sobre a equação diferencial do oscilador harmônico simples,

cuja solução geral é dada por

onde as constantes e são arbitrárias. Todas as grandezas aqui são reais, inclusive as constantes arbitrárias. E se quiséssemos resolver uma equação de oscilador harmônico, mas no contexto dos números complexos?

Vamos supor que, além da coordenada acima, também tenhamos a equação para a coordenada

onde tanto como são reais e também estamos sempre supondo que é um número real e positivo. A solução geral dessa equação para no contexto dos números reais, é também dada por uma combinação linear arbitrária de seno e cosseno de

onde e são outras constantes reais arbitrárias, não necessariamente dependentes de e

Agora eu pergunto: qual é a solução geral da equação

quando é um número complexo? Isso mesmo que você deve estar pensando: e são reais, mas é dado, digamos, por

Para responder isso, basta considerarmos

Seríamos extremamente esquisitos se não nos permitíssemos escrever, nesse ponto, que

pois, como eu disse mais acima, os números complexos nada mais são do que os reais acrescidos de uma unidade complexa Logo, é natural que as mesmas operações diferenciais que são realizadas sobre os reais possam também ser realizadas da mesma maneira sobre os complexos. Enfim, podemos escrever a equação diferencial complexa acima como

Se

segue que seu complexo conjugado é obtido trocando por isto é,

Então, a equação de oscilador harmônico para que é obtida da equação para trocando por fica

Substituindo

nessa equação obviamente dá

Então, agora, temos duas equações simultâneas para e

e

Somando membro a membro e dividindo por vem

Subtraindo membro a membro as equações do sistema acima e dividindo por vem

Mas já conhecemos as soluções gerais para essas equações e, portanto, agora também teremos a solução geral da equação para

isto é,

Podemos definir duas constantes complexas arbitrárias em termos das reais assim:

e

Com isso, podemos escrever

onde e são duas constantes complexas arbitrárias, já que e são reais e completamente arbitrárias. Assim, a solução geral da equação do oscilador harmônico para a variável complexa tem exatamente a mesma forma que a solução geral para variáveis reais e com a diferença de que as duas constantes arbitrárias, e são complexas.

O oscilador harmônico simples para uma variável complexa

Vamos considerar a equação de oscilador harmônico para a variável complexa novamente:

Agora já sabemos que a solução geral dessa equação é complexa e tem constantes arbitrárias complexas. Como já tentamos anteriormente, porém pensando em números reais, podemos procurar por soluções exponenciais da equação acima:

Assim,

que somente é solução da equação do oscilador harmônico simples se

ou seja,

supondo, como acima, que é um número real e positivo. Então, encontramos duas possíveis soluções, linearmente independentes, para a equação de oscilador harmônico de uma variável complexa:

e

Essas soluções são linearmente independentes porque, caso não fossem, teríamos

para alguma constante complexa e, nesse caso, multiplicando ambos os membros dessa equação por temos

No entanto, preservando as propriedades algébricas desejáveis da função exponencial, escrevemos

e

Com isso,

implica em

ou seja, a função exponencial complexa seria uma constante, o que é absolutamente contraditório, já que essa função deve descrever oscilações. Essa contradição implica na falsidade de nossa hipótese de que e são linearmente dependentes e, portanto concluímos que essas soluções são linearmente independentes.

Podemos escrever essas exponenciais complexas? O que entendemos por uma exponencial de número complexo? Por enquanto, vamos apenas supor que possamos fazer isso: no lugar de um número real no argumento de uma função exponencial, vamos colocar um número complexo. Essa atividade é chamada de continuação analítica da função exponencial.

A solução geral da equação de oscilador harmônico simples para a variável complexa nesse caso, é obtica pela combinação linear dessas duas soluções:

onde e são constantes complexas arbitrárias. Ora, anteriormente havíamos encontrado, como solução, a expressão

Como essa expressão pode ser equivalente à nova resposta,

que é dada em termos de exponenciais complexas? Afinal, o que quer dizer uma exponencial complexa? Para responder isso, vamos impor que as duas formas sejam realmente equivalente e ver o que obteremos:

Essa equação deve valer para todo instante Logo, para temos:

impondo, naturalmente, que

Podemos derivar membro a membro a equação

e obter

isto é,

Essa equação também deve ser válida para todo instante e, portanto, para obtemos:

Substituindo e na equação

resulta em

isto é,

para qualquer escolha independente de e já que são constantes completamente arbitrárias. Para que essa equação seja sempre válida, sem importar os valores assumidos por e devemos ter, simultaneamente,

e

isto é,

e

Note que, de fato, a expressão para é o que obtemos tomando a expressão conjugada de conforme dada acima, isto é, trocando, na equação

a unidade imaginária, por A fórmula de Euler é dada por essa expressão.

É fácil, agora, escrever o cosseno e o seno em termos de exponenciais complexas; somando

e

obtemos

isto é,

Subtraindo

de

vem

isto é,

Agora você sabe como expressar seno e cosseno em termos de exponenciais de Euler e, reciprocamente, você entende o que significa a exponencial complexa. Na verdade, podemos escrever a exponencial complexa mais geral da seguinte forma:

onde e são números reais. Note que podemos escrever

partindo de

pois, como é arbitrário, sempre podemos escolher e segue a expressão acima para qualquer real:

Outra propriedade muito interessante decorre da expressão para a -ésima potência de

No entanto, também é verdade que

e, portanto,

Essa é a fórmula de de Moivre. Bacana, né? 😎

Música desta postagem: Consolations S. 172 (Lento Placido – 1850) de Franz Liszt, por Eugene Dolan

Recomendo também a leitura da postagem a seguir:

Uma versão em PDF

Gostou desta postagem? Então clique no botão abaixo e siga o Nerdyard no Twitter! Toda vez que houver uma nova postagem aqui, você saberá imediatamente! :cool:

Siga Nerdyard no Twitter

Melhor ainda: inscreva-se em Nerdyard e receba, por e-mail, o aviso com links para cada nova postagem ou novidade.

Google Groups
Inscreva-se em Nerdyard
Melhor email:
Visite este grupo

NOTE QUE EU ODEIO SPAM COM TODA CONVICÇÃO! :cool:

Dessa forma, não se preocupe: eu juro que jamais fornecerei seu endereço de e-mail ou qualquer outra informação sobre você para ninguém!

Clip to Evernote

Deixe um comentário for A fórmula de Euler

Editor de Equações (www.codecogs.com/latex/eqneditor.php)

Para entender como utilizar esse editor de equações, clique aqui.