A forma covariante das equações de Maxwell

Audio clip: Adobe Flash Player (version 9 or above) is required to play this audio clip. Download the latest version here. You also need to have JavaScript enabled in your browser.

As equações dinâmicas para uma partícula de carga podem ser expressas por

tanto no sistema CGS como no sistema MKS, e

no sistema CGS, ou

no sistema MKS, onde definimos

e

tanto no sistema CGS como no sistema MKS. Podemos construir um quadrivetor com componentes , onde

e

Vemos, então, que as equações dinâmicas acima podem ser reescritas em termos de componentes de quadrivetores como

no sistema CGS, ou

no sistema MKS, para É fácil determinarmos que o quadritensor com componentes é dado, em forma matricial, por

no sistema CGS, ou

no sistema MKS. Também temos

no sistema CGS, ou

no sistema MKS. Esse é o quadritensor eletromagnético.

A lei de Gauss,

no sistema CGS, pode ser expressa como

ou a lei de Gauss,

no sistema MKS, pode ser expressa como

A lei de Ampère & Maxwell,

no sistema CGS, fornece

e

ou a lei de Ampère & Maxwell,

no sistema MKS, fornece

e

Definindo a quantidade

tanto no sistema CGS como no sistema MKS, obtemos

no sistema CGS, ou

no sistema MKS, para Como os ‘s formam um quadrivetor e os ‘s formam um quadritensor de segunda ordem, necessariamente os ‘s formam um quadrivetor. De forma análoga, a ausência de monopolos magnéticos, expressa em termos da equação

pode ser reescrita como

tanto no sistema CGS como no sistema MKS. Finalmente, a lei de indução de Faraday,

no sistema CGS, gera as equações

e

ou a lei de indução de Faraday,

no sistema MKS, gera as equações

e

Assim, podemos condensar as equações homogêneas de Maxwell, tanto no sistema CGS como no sistema MKS, como

para

Resumindo, as equações de Maxwell podem ser escritas de forma compacta como

no sstema CGS, ou

no sistema MKS, e

tanto no sistema CGS como no sistema MKS, onde

também valendo em ambos os sistemas, CGS e MKS, e

no sistema CGS, ou

no sistema MKS. A covariância das equações acima pode ser demonstrada fazendo a transformação para um outro referencial inercial e constatando que as equações permanecem as mesmas. Fazemos, portanto,

pois os ‘s formam um quadrivetor,

pois os ‘s formam um quadritensor de segunda ordem, e

pois os ‘s formam um quadrivetor, conforme mencionado acima. Assim,

no sistema CGS, ou

no sistema MKS. Logo, se em um referencial inercial valem as equações

no sistema CGS, ou

no sistema MKS, segue que, em outro referencial inercial , valem, respectivamente,

no sistema CGS, ou

no sistema MKS, e a covariância dessas equações está demonstrada. De forma análoga, temos, em ambos os sistema, CGS e MKS,

e, se

em , então

em .

😎

Música desta postagem: Piano Concerto in D Major Hob. XVIII (Rondo all’ungherese – Allegro assai) de Franz Joseph Haydn, por Pianist Mauro Bertoli with the Brescia Chamber Orchestra

Recomendo também a leitura das postagens a seguir:

Uma versão em PDF

Gostou desta postagem? Então clique no botão abaixo e siga o Nerdyard no Twitter! Toda vez que houver uma nova postagem aqui, você saberá imediatamente! :cool:

Siga Nerdyard no Twitter

Melhor ainda: inscreva-se em Nerdyard e receba, por e-mail, o aviso com links para cada nova postagem ou novidade.

Google Groups
Inscreva-se em Nerdyard
Melhor email:
Visite este grupo

NOTE QUE EU ODEIO SPAM COM TODA CONVICÇÃO! :cool:

Dessa forma, não se preocupe: eu juro que jamais fornecerei seu endereço de e-mail ou qualquer outra informação sobre você para ninguém!

Clip to Evernote

3 Comments for A forma covariante das equações de Maxwell

  1. Leonardo Andreta de Castro said,

    maio 26, 2010 @ 17:01

    Vale notar a forma mais compacta da equação homogênea: .
    Isso lembra tanto um rotacional quanto a inomogênea lembra um divergente. Acho que se eu estivesse criando a notação da relatividade hoje, escreveria algo como e . É claro que perderia a capacidade de impressionar que os vários índices têm.

  2. Thiago said,

    abril 26, 2014 @ 20:44

    Olá! Parabéns pelo site. Mas tenho que confirmar só uma coisa: na verdade essas equações estão na forma contravariante, correto? abraços.

  3. reginaldo said,

    abril 29, 2014 @ 17:11

    Olá Thiago,
    Grato deveras pela sua parabenização! Sim, as equações foram escritas na versão contravariante. O título diz forma covariante das equações porque é assim, em geral, que nos referimos a equações que não mudam de forma quando fazermos transformações do grupo de Poincarré. Então, as equações que eu escrevi, na versão contravariante, são equações covariantes no sentido de não mudarem de forma por transformações do grupo de Poincarré. É claro que tudo isso é abuso de linguagem dentro do contexto de relatividade. Covariância pode dizer outra coisa em estatística, por exemplo. Há covariância de equações no contexto de outras transformações. Por exemplo, uma simples equação vetorial em três dimensões espaciais é uma equação covariante por rotações no espaço tridimensional. Espero que você tenha ‘pegado’ o significado desses termos.

RSS comments feed· TrackBack URI A forma covariante das equações de Maxwell

Deixe um comentário for A forma covariante das equações de Maxwell

Editor de Equações (www.codecogs.com/latex/eqneditor.php)

Para entender como utilizar esse editor de equações, clique aqui.