A força que um anel uniformemente carregado exerce sobre uma carga no mesmo plano do anel

Recentemente, para minha turma de física 3, eu dei o problema abaixo, do livro Física 3, de Halliday, Resnick e Krane (5a. edição, LTC). Houve muitas questões a respeito da formulação da integral que dá a força elétrica sobre a carga pontual no plano do anel. Então, para esclarecer como o problema pode ser formulado, apresento aqui apenas os passos necessários para escrever a expressão da força sobre a carga. Também uso a simetria do problema para mostrar que essa força é radial.

A melhor forma de começar a resolver o problema é fazendo um desenho. A figura abaixo mostra como fazer isso. Começamos observando que, como a carga é uniformemente distribuída sobre o anel, então temos que a densidade linear de carga é dada por

onde, como no enunciado, é a carga total do anel e é o raio do anel.

Um elemento de carga do anel, portanto, pode ser escrito como

onde o ângulo e o elemento de arco de comprimento podem ser vistos na figura acima. Com isso, é fácil usar diretamente a lei de Coulomb e escrever a força elétrica que o elemento de carga exerce sobre a carga pontual

Tudo que resta a ser feito agora é escrever o vetor como uma função do ângulo e integrar sobre todos os elementos de ângulo Note que, para o cálculo da força sobre a carga que está instantaneamente fixa, o vetor é constante e não muda com a variação de Não vou tratar isto aqui, mas depois de calculada a força, se quisermos completar a resolução do problema enunciado acima, teremos que calcular como uma função do tempo, usando a segunda lei de Newton.

O sistema de coordenadas que usamos para tratar um problema pode ser escolhido como sendo o mais conveniente. Já que sempre temos essa liberdade de escolha para sistemas de coordenadas, vamos escolher um que seja em termos de coordenadas cartesianas e com eixos posicionados como na figura abaixo.

Note que é constante na integral e podemos escrever

onde é o módulo de Analogamente, escrevemos o vetor como

já que como é fácil ver na figura acima. Então,

isto é,

pois

Assim, a força que o anel exerce sobre a carga pontual fica

Também podemos escrever a força como

É fácil ver que a segunda integral é nula, pois

e

se fizermos a substituição em que

Para ver que isso é verdade, veja que

e

Então,

Como é uma variável de integração em uma integral definida, segue que é uma variável muda e pode ser substituída por qualquer outra letra. Logo, esta integral de a cancela a integral de a do segundo membro da Eq. (1). Com isso, a força fica simplesmente na direção ou seja,

Como vimos, dado o particular sistema de coordenadas auxiliar que escolhemos, podemos reescrever o versor por já que, como escrevemos acima,

e

Assim, independentemente da escolha de sistema de coordenadas, a força é radial e dada por

Em nenhum ponto do raciocínio acima especificamos onde a carga estava localizada, isto é, não especificamos se ou se Portanto, nossa expressão da força acima serve para ambos os casos. Infelizmente essa integral não tem solução analítica e é necessário utilizarmos integração numérica para encontrarmos seu valor.

Podemos ainda simplificar mais a equação acima escrevendo

ou ainda,

onde definimos

😎

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2 respostas para “A força que um anel uniformemente carregado exerce sobre uma carga no mesmo plano do anel”

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