A força gravitacional que uma casca esférica exerce sobre uma partícula

Agora que já sabemos a força gravitacional que um anel exerce sobre uma partícula e também sabemos como cobrir uma superfície esférica com elementos anulares, podemos calcular a força que uma casca esférica exerce sobre uma partícula. Primeiro, consideremos que a partícula de massa esteja fora da casca esférica. Vou definir o eixo como aquele que passa pelo centro da superfície esférica e pela partícula. Seja o raio da superfície esférica e seja a distância entre o centro dessa superfície e a partícula, como mostra a figura abaixo.

A superfície esférica pode ser vista como um conjunto de anéis massivos. Se a casca tem uma massa total então cada anel terá uma massa que, por sua vez, será uma função de e proporcional a Como o elemento de área de um anel é dado por

para uma casca com massa superficial uniformemente distribuída o elemento de massa do anel será

isto é,

Note que a integral sobre desde até fornece a massa total:

como esperado. Para um anel no plano a distância até o ponto de massa é igual à diferença conforme mostra a figura abaixo. Note que quando a partícula de massa está fora da casca esférica essa diferença, é positiva.

A força de um anel elementar sobre a partícula de massa será dada, portanto, por

que é a expressão análoga à que obtivemos quando tratamos a força gravitacional que um anel exerce sobre uma partícula. Como o elemento de massa é

obtemos

Integrando sobre desde até resulta na força total que a casca esférica exerce sobre a partícula de massa

Aqui vou fazer uma substituição de variáveis que facilitará o cálculo da integral. Seja

isto é,

Logo,

e, portanto,

Também podemos escrever

e, como no numerador aparece em termos de obtemos

isto é,

Os limites de integração sobre a variável ficam

e

Com tudo isso, a força total escreve-se

isto é,

Mas,

e

Até agora estamos tratando o caso em que a partícula de massa está fora da superfície esférica de raio e, portanto, Sendo assim,

e

Com esses resultados, podemos escrever a força total como

isto é,

ou seja,

Esse resultado mostra que a superfície esférica de massa uniformemente distribuída, exerce uma força sobre a partícula de massa posicionada externamente à casca, como se toda sua massa estivesse concentrada no seu centro.

Como esses cálculos mudam quando a partícula de massa está dentro da casca esférica? A figura abaixo mostra a nova situação.

Essencialmente, a diferença é que agora haverá anéis cujos planos estarão acima da coordenada da partícula de massa Em outras palavras, a diferença agora pode ser negativa, já que no presente caso Todo o restante é exatamente como feito acima, exceto que agora

Com isso, o resultado para a força ainda é dado por

com

e

No entanto, onde aparece devemos substituir por Logo,

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Portanto,

Logo, a força gravitacional que uma superfície esférica de massa uniformemente distribuída, exerce sobre uma partícula de massa será nula, se a partícula estiver no interior da casca esférica.

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