A força gravitacional devida a uma distribuição de massa distribuída uniformemente sobre um anel

Já sabemos que duas partículas pontuais de massas e se atraem de acordo com a lei de gravitação universal de Newton. Sejam e os vetores posição das partículas de massas e respectivamente. Assim, a força que a partícula exerce sobre a partícula é dada por

Analogamente, a força que a partícula exerce sobre a partícula é dada por

Note que

de acordo com a terceira lei de Newton. A figura abaixo ilustra os vetores envolvidos na descrição da força entre as duas partículas.

Força gravitacional entre duas partículas

Agora, qual será a força exercida sobre uma partícula de massa por um anel circular de raio e massa uniformemente distribuída, se a partícula encontrar-se em um ponto sobre o eixo de simetrica do anel? A figura abaixo ilustra essa pergunta com a posição relativa da partícula de massa sobre o eixo do anel.

Anel e partícula

Para calcularmos essa força, vamos definir o plano como o plano do anel e colocar a origem no centro do anel. Fica claro, olhando a figura a seguir, que as coordenadas do elemento do anel de massa são dadas por enquanto que as da partícula de massa são dadas por A distância ente o o elemento do anel e a partícula fica, portanto, conforme fica evidente na figura abaixo.

Detalhes para o cálculo da força

O elemento de força que o elemento do anel de massa exerce sobre a partícula de massa é, portanto, escrito assim:

onde o vetor que aparece entre parênteses no numerador é o resultado da diferença entre o vetor posição da partícula de massa e o vetor posição do elemento do anel de massa Resta estabelecermos uma relação entre e o ângulo que especifica sua posição ao longo do comprimento do anel. Como o anel tem sua massa uniformemente distribuída ao longo de todo o comprimento do anel, sabemos que a densidade de massa é constante para todo ângulo O valor dessa densidade é dado pela massa total do anel, dividida pelo comprimento total do anel, Seja o ângulo subendentido pela extensão do elemento do anel de massa Dessa forma, como a densidade dada pela massa por unidade de comprimento é constante, podemos escrever

pois o comprimento do elemento do anel com massa é Dessa relação podemos deduzir:

O elemento de força sobre a partícula fica agora

Somando todas as contribuições de elementos do anel, teremos a força total que o anel exerce sobre a massa da partícula. Essa soma, no limite em que os elementos do anel tornam-se minúsculos e infinitos escreve-se como uma integral de Riemann:

onde colocamos em evidência, multiplicando a integral, todos os fatores que não dependem de Os limites de integração correspondem a uma volta completa sobre o comprimento do anel, já que toda sua extensão tem massa e, portanto, cada elemento contribui para a força total. A integral da soma de vetores é a soma das integrais dos vetores e, como os versores e não dependem do ângulo podem ser retirados para fora das respectivas integrais. Temos, portanto,

No entanto,

e

Com essas integrais a força fica

Note que as componentes da força ao longo de direções ortogonais ao versor se anulam por simetria, como ilustram os vetores vermelhos opostos agindo sobre a partícula da figura abaixo.Ilustração do cancelamento da componente transversal da força

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21 Comments for A força gravitacional devida a uma distribuição de massa distribuída uniformemente sobre um anel

  1. Fabiano said,

    agosto 11, 2010 @ 22:10

    Ficou muito legal, você escreve muito bem.

  2. Pericles said,

    agosto 12, 2010 @ 0:21

    Não entendi porque a densidade do anel é igual a massa M dividida pelo COMPRIMENTO?!?!?!.
    Não seria o volume? Não entendi essa etapa da demonstração.
    De qualquer forma, estou apreciando deveras o blog, estou aprendendo bastante. Obrigado.

  3. reginaldo said,

    agosto 12, 2010 @ 10:47

    Olá Fabiano,
    Grato deveras pelo seu comentário!

  4. reginaldo said,

    agosto 12, 2010 @ 11:08

    Olá Péricles,
    Grato deveras pelo seu comentário.
    Por que a densidade é massa dividida pelo comprimento? Antes de mais nada, você está certo: a densidade é massa por volume. O problema que estamos tratando, no entanto, é de um anel muito fino, praticamente uma linha, com apenas uma dimensão: seu comprimento. O volume do anel, portanto, é nulo, pois a área transversal é nula e, nesse caso, a densidade não pode ser definida por unidade de volume, pois daria infinita no limite em que a área transversal do anel fosse a zero. Um tal anel não existe na prática; é uma abstração puramente matemática para simplificar os cálculos. No entanto, podemos tornar a aridez desse argumento um pouco mais palatável se supusermos que, na verdade, estejamos considerando densidade como massa por volume. Porém, o elemento de massa que aparece no integrando, não mais será escrito como densidade vezes comprimento, mas como densidade vezes volume. Assim, seja a área transversal do anel e seja seu comprimento, então seu elemento de volume será A densidade do anel, portanto, ficará igual à massa dividida pelo volume do anel:

    Quando calcularmos deveremos multiplicar a densidade pelo elemento de volume e o resultado dará:

    como se a área transversal não fosse necessária. De fato, nem mesmo o raio precisaria entrar nos cálculos, pois cancela na expressão acima, permitido até mesmo definirmos uma densidade de massa angular, isto é,

  5. Frota said,

    agosto 12, 2010 @ 21:54

    uma pergunta: se a partícula for bem dotada de uma velocidade ao longo do eixo z ela penetra o anel e adquire um movimento harmônico de vai-vem?

    saudações, professor reginaldo! voce realmente mostra pra galera qual é o negócio. vlw

  6. Pericles said,

    agosto 13, 2010 @ 1:45

    Você escreve muito bem, tem excelente didática. E é muito prestativo, eis que me respondeu em poucas horas. Muito obrigado.
    Desculpe pela pergunta indiscreta, que já é abusar da sua gentileza, e não querendo desencorajá-lo em seu projeto, mas…
    Você é um excelente professor, qual a razão de disponibilizar esse excelente material de forma gratuita?

  7. reginaldo said,

    agosto 13, 2010 @ 10:07

    Olá alexandre-frota (!?),
    Grato deveras pelo seu comentário; fico feliz sabendo que mostro qual é o negócio! Quanto ao anel: o movimento não vai ser harmônico, mas vai ser de vai-e-vem. No entanto, a velocidade pode ser até mesmo nula, mas se o deslocamento for muito menor do que o raio do anel, , então sim, desprezando no denominador frente a , aí o movimento de pequena amplitude ficará harmônico.

  8. reginaldo said,

    agosto 13, 2010 @ 10:38

    Olá Péricles,
    Grato deveras pelo seu comentário e tantos elogios! Não há de que me agradecer pela resposta, pois foi um prazer poder esclarecer sua dúvida, que, aliás, pode ter ajudado vários outros estudantes com o mesmo problema. Eu é que agradeço pela sua contribuição a este blog, ajudando a torná-lo uma ferramenta ainda mais útil! Quanto à sua pergunta “indiscreta”, respondo a você dizendo que sua generosidade em publicamente elogiar e aprovar meu trabalho vale mais do que dinheiro! Todo ser humano procura por algumas coisas na vida e uma imprescindível é aprovação; começa com a procura pela aprovação dos pais. Hoje, ter aprovação dos estudantes é uma remuneração mais do que farta para mim.

    Agora, como não sou santo e nem tenho intenção de me tornar um, posso encarar sua pergunta sob dois aspectos: sob o aspecto de satisfação com o que faço e sob o aspecto técnico de um serviço prestado. Quanto ao caráter de satisfação pessoal, creio já ter deixado clara minha posição acima. Quanto ao aspecto técnico de uma prestação de serviço, que pode ser encarada como a natureza deste blog, respondo sua pergunta com outra pergunta: você usa o serviço de e-mail da Microsoft e esse serviço é gratuito; qual a razão de a Microsoft, claramente uma empresa à procura de lucro, oferecer um serviço tão bom de graça? Quer outra pergunta? Lá vai: eu tenho gmail e posso usar quase 8GB de espaço de graça; além disso, posso criar blogs, sites, agendas, compartilhar dados entre meu celular e a “nuvem” de computadores da empresa Google; qual a razão de essa gigantesca empresa oferecer tantos serviços gratuitos? Respondendo a essas questões, você estará também entendendo minha visão da Nova Economia e do princípio adotado aqui: oferecer serviços para o maior número possível de usuários, dentro da especialidade que melhor posso exercer, de graça. Além da satisfação de poder servir, o que mais ganho? Por enquanto, apenas satisfação tem alimentado minha alma. Para saber mais sobre minha visão a respeito da gratuidade da informação, sugiro dar uma olhada em Chris Anderson e — por que não? — em Paul Krugman.

  9. Orlando said,

    fevereiro 22, 2012 @ 17:26

    Parabéns pelo trabalho! Me ajudou bastante com uma dúvida antiga. Muito obrigado!

    Orlando

  10. reginaldo said,

    fevereiro 24, 2012 @ 16:25

    Olá Orlando,
    Grato deveras pelo seu comentário e pelos parabéns! E se ajudou você, fico ainda mais feliz, pois é para isso que o Nerdyard foi concebido! Valeu mesmo!

  11. Vilson Russi said,

    julho 13, 2012 @ 5:44

    ola, muito bom o material.

  12. Vilson Russi said,

    julho 13, 2012 @ 5:48

    – Descobri por um acaso o seu trabalho, fiquei deslumbrado mano, muito bom mesmo, tinha umas coisas super confusas aqui, mas depois que vi seus trabalhos as duvidas se foram. Obrigado por seus serviços, nada mais posso fazer a não ser agredecer, porque o conhecimento não tem preço.

  13. reginaldo said,

    julho 29, 2012 @ 18:19

    Olá Vilson,
    Grato deveras pelo elogio! Fico feliz que você tenha gostado! Valeu!

  14. reginaldo said,

    julho 29, 2012 @ 18:28

    Olá Vilson,
    Grato deveras pelo seu comentário! É através de estímulos commo o seu que continuo apresentando o conhecimento que adquiri dando o melhor de mim mesmo! Assim, agradeço deveras seu elogio! Valeu mesmo!

  15. José said,

    agosto 21, 2012 @ 16:43

    Muito boa a sua intenção de explicar conteúdos tão difíceis como esse, parabéns.
    Mas eu fiquei com uma dúvida logo no começo, porque na expressão da força é dividido por (a²+b²)³/²?

  16. José said,

    agosto 21, 2012 @ 17:53

    Perdoe-me a pergunta besta. é por causa do angulo e seu co-seno.

  17. reginaldo said,

    agosto 29, 2012 @ 11:45

    Olá José,
    Grato deveras pelo seu comentário e pelo elogio! Valeu mesmo! Eu iria responder a sua pergunta, mas você mesmo já entendeu! Valeu!

  18. Tiago Lopes said,

    julho 3, 2013 @ 1:43

    Boa noite, eu não entendi o (a² + b ²)^ 3/2 … Eu sei que fica ( a² + b ²)^1/2 porque passou a raiz pra fração e depois que faz essa transformação tem q elevar tudo isso ao quadrado porque a fórmula diz que a força gravitacional tem a distância ao quadrado ( R²) inversamente proporcional , só que pela minha concepção ( que não se se está certa) esse 1/2 com o quadrado que eleva toda função se multiplicam e depois se cancelam não é ?

  19. Tiago Lopes said,

    julho 3, 2013 @ 1:51

    Complementando a pergunta o que eu disse é que (A^x)^y é o mesmo que A^x.y ( Leia esse símbolo ” ^ ” como A elevado a algo) analogamente eu pensei então , [(a² + b²)^1/2]² é o mesmo que (a² + b²)^2/2 pela multiplicação e por fim (a² +b²)¹ … Ficaria muito grato se me esclarecesse essa dúvida e verificasse se cometi algum equívoco conceitual ! Obrigado desde já.

  20. Tiago Lopes said,

    julho 3, 2013 @ 2:29

    Acho que minha segunda pergunta não foi entregue .. vou refazê-la ( desculpa o incômodo) eu disse que pela propriedade

    ( A^x)^y <> É o mesmo que A^x.y . Portanto analogamente concluí que :

    [ (a² + b²)^1/2 ]² é o mesmo que (a² + b²)^2/2 que é o mesmo que (a² + b²)¹

    por isso disso aquilo no comentário anterior. Se pudesse me esclarecer, ou verificar se tenho razão eu seria muito grato ! Desde já agradeço a atenção.

  21. reginaldo said,

    setembro 16, 2013 @ 7:04

    Olá Tiago,
    Você está conceitualmente correto. O problema que você está tendo vem do fato de que estou elevando a raiz quadrada ao cubo, não ao quadrado. É por isso que fica tudo elevado a 3/2. Por que estou elevando ao cubo? É simples: se você olhar a primeira equação da postagem, verá que o módulo da diferença entre os dois vetores está ao cubo, já que a expressão toda é multiplicada pelo vetor diferença. A força de Coulomb é proporcional ao versor direção da diferença entre os dois vetores posição envolvidos no cálculo, que são os vetores posição das duas partículas. Espero ter ajudado.
    Grato deveras pelas perguntas!

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