A estratégia de negociação dinâmica auto-financiada

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Construamos uma carteira em que temos, em cada instante um montante de ações um montante de opções e um montante de títulos livres de risco Como as ações, as opções e os títulos podem ser comprados ou vendidos, inclusive podem ser vendidos a descoberto, os montantes podem ser positivos ou negativos. Portanto, podemos construir uma carteira em que nenhum montante em dinheiro é investido jamais, nem mesmo no instante inicial. Uma carteira assim é chamada auto-financiada.

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Creative Commons License photo credit: Idhren

Se o preço da ação no instante for dado por

e o preço da opção for dado por

o valor da carteira nesse instante será

onde e são as quantidades, positivas ou negativas, de ações e opções, respectivamente, no instante

Como na postagem O argumento da neutralidade de risco para obter a equação de Black e Scholes, os preços da ação e da opção satisfazem as respectivas equações estocásticas abaixo:

e

Usando o lema de Ito, vem

e

A dinâmica do valor da carteira é obtida tomando a diferencial do valor da carteira, que é dado por

Assim,

onde estamos usando o fato de que o valor dos títulos varia de um incremento , com taxa de juros livre de risco . Notemos que o montante em títulos pode mudar porque o preço dos títulos muda de ou porque a quantidade muda de , já que podem ser comprados ou vendidos.

Os três termos somados entre colchetes no segundo membro da equação para acima dão a variação do valor da carteira sem termos que fazer qualquer negociação, bastando que os preços dos títulos, das ações e das opções variem. Já os três termos somados entre chaves dão a variação do valor da carteira quando compramos e vendemos esses três ativos financeiros. Como a estratégia é auto-financiada, não colocamos ou tiramos nenhum dinheiro na carteira por meio dessas negociações, isto é,

Com isso, a equação para fica

onde, como acima, quando escrevemos a equação

aqui também estamos usando

e

Substituindo

e

em

podemos escrever esse incremento do valor da carteira como

isto é,

ou seja,

Se impusermos que o termo estocástico dessa equação se anule sempre, a variação do valor da carteira passará a ser determinística. Assim, impomos:

ou seja,

Usando a equação

vem

isto é,

Logo, nesse caso,

Com essa condição sendo satisfeita, obtemos uma carteira que não é estocástica e que jamais requer qualquer investimento de capital, nem mesmo inicialmente. Assim, impomos:

e, portanto, é uma constante no tempo. Sendo assim, escolhamos não investir dinheiro algum desde o início, isto é,

Com isso, segue de

que

Como

segue

e, assim,

Logo,

Essa igualdade fica

isto é,

onde usamos

Portanto,

Substituindo o valor de , dado por

resulta na equação

ou seja,

que é a equação de Black e Scholes.

Notemos que quando lançamos uma só opção e não mais mudamos essa posição em opções, temos

e, da equação

obtemos

Essa quantidade de ações é exatamente o que chamamos de na postagem O princípio do hedging sem risco e a teoria de Black, Scholes e Merton:

Como o valor da carteira é nulo sempre, da equação

segue que

isto é,

Lançando uma só opção, essa relação fornece

isto é,

ou seja,

Assim, o preço da opção, em cada instante de tempo, pode ser replicado por uma carteira consistindo de ações e uma quantidade de títulos

😎

Música desta postagem: Kaleidophone de Robert Caby, por Olof Höjer

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