A equação de onda e as condições de contorno para os campos

A luz e outras formas de radiação eletromagnética propagam-se por meio de ondas eletromagnéticas através do vácuo ou do meio material, caso esse meio permita a propagação dessas ondas. No caso do vácuo, essas ondas se propagam sempre com a chamada velocidade da luz, uma constante universal, com o valor exato dado por

(usando a convenção brasileira para pontos e vírgulas, isto é, é igual a duzentos e noventa e nove mil, setecentos e noventa e dois quilômetros por segundo e quatrocentos e cinquenta e oito metros por segundo). Já para meios materiais, a velocidade da luz é menor do que esse valor e dependente da frequência predominante, pois não é possível produzir ondas estritamente monocromáticas. Nesta postagem vamos ver como as ondas eletromagnéticas são descritas usando as equações de Maxwell.

Se tomamos o rotacional de ambos os membros da lei da indução de Faraday, obtemos

ou seja,

Se consideramos um meio dielétrico linear, isotrópico e homogêneo onde não há cargas ou correntes livres, então e e as leis de Gauss e de Ampère & Maxwell ficam

Logo, a equação acima pode ser reescrita como

Essa é a equação de onda para o campo elétrico.

Podemos também obter a equação de onda para o campo indução magnética. Para isso, supondo que o meio dielétrico seja linear, isotrópico e homegêneo, sem cargas ou correntes, podemos tomar o rotacional de ambos os membros da lei de Ampère & Maxwell para obter

ou seja,

Usando o fato de que não há monopolos magnéticos e a lei da indução de Faraday, obtemos

No caso em que o meio não é dielétrico, mas é ôhmico e possui uma condutividade , as equações acima devem ser modificadas. No caso de meio ôhmico, temos

Logo, a lei de Ampère & Maxwell fica

Com isso, a Eq. (1) resulta em

Ainda considerando a ausência de cargas livres, obtemos

Tomando o rotacional de ambos os membros da Eq. (2) e usando a lei da indução de Faraday, temos

ou seja,

Como não há monopolos magnéticos, a equação de onda para o campo indução magnética fica

Condições de contorno para os campos

Das equações

e

segue que as condições de contorno para as componentes normais de e são as mesmas que para o caso estático, isto é,

e

onde é o versor que aponta do meio para o meio e é a interface de separação entre os meios.

Para as equações

e

um pouco mais de cuidado é necessário com as derivadas parciais com relação ao tempo.

Por exemplo, para a lei de Ampère & Maxwell,

consideramos um ponto sobre a interface e fazemos uma circuitação plana e retangular, com seu plano contendo a normal à superfície no ponto considerado. Se é a normal, seja um versor perpendicular à normal no ponto considerado. Então, é tangente à superfície . O vetor é também um versor e é ortogonal a ambos os versores e . Com esses três versores, construamos uma circuitação em torno do ponto considerado da interface . Ao longo de , na região , tracemos um lado do retângulo de comprimento . Ao longo de , atravessando a interface da região para a região , tracemos outro lado do retângulo de comprimento . O retângulo está completo e podemos considerar o teorema de Stokes para o fluxo do campo intensidade magnética sobre a superfície do retângulo, considerando e infinitesimais:

onde é a corrente livre superficial na interface . A condição de contorno nesse caso dá

pois

quando

Assim, a componente tangencial do campo intensidade magnética não é contínua quando . No entanto, é arbitrário; vamos então reescrever essa condição de contorno em termos apenas da normal . Como é arbitrário e tangente a , então, deve ser perpendicular a , ou seja,

Logo,

Como é arbitrário e o membro esquerdo dessa equação não é arbitrário, segue que e a condição de contorno fica

Como é tangente à interface, segue que

e, portanto,

como no caso estático. Analogamente, da lei da indução de Faraday segue a continuidade da componente tangencial de :

😎

Bibliografia

[1] John R. Reitz, Frederick J. Milford e Robert W. Christy , Foundations of Electromagnetic Theory, terceira edição (Addison-Wesley Publishing Company, 1979).

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