A equação de onda com fonte

Na postagem, Invariância de calibre ou gauge, vimos que podemos escolher o calibre de Lorentz e resolver a mesma equação de onda com fonte para as três componentes do potencial vetorial e para o potencial escalar, assim como para a própria função de gauge, caso queiramos, partindo de um calibre diferente, mudar para o gauge de Lorentz. Veja que estou, propositalmente, usando as palavras calibre e gauge como sinônimos. Além da vantagem do calibre de Lorentz resultar em uma só equação para os potenciais e função de calibre, também é um calibre covariante por transformações de Lorentz \textendash daí o nome do gauge! Mas isso é assunto para outra ocasião. Nesta postagem vou resolver a equação de onda com fonte. Na verdade, ao invés de resolvê-la, vou apresentar a solução e mostrar que satisfaz a equação.


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Vamos iniciar provando o seguinte resultado matemático:

onde é a magnitude da velocidade da luz no vácuo. Para simplificar a notação, vamos escrever:

e

Então,

isto é,

Note o seguinte resultado:

Consequentemente,

ou seja, usando de novo a Eq. (6),

Também, usando de novo a Eq. (6), temos:

Então, substituindo as Eqs. (8) e (9) de volta na Eq. (5), encontramos o seguinte resultado:

que é exatamente a Eq. (1), com e como nas Eqs. (2) e (3).

Com o resultado que acabamos de demonstrar, podemos concluir que a integral volumétrica da Eq. (1) dá:

onde o volume é o volume de todo o espaço tridimensional, sempre tendo em mente que, por hipótese, a fonte é limitada espacialmente para todo instante de tempo. Note que, para

Então, o último termo da Eq. (11), à luz da Eq. (12), pode ser escrito assim:

já que, para qualquer outro ponto do volume exceto o laplaciando do inverso de se anula. Resta saber qual o valor da integral volumétrica desse laplaciano. Mas esse resultado é conhecido da eletrostática: para uma carga pontual de valor colocada no ponto temos:

e, da lei de Gauss,

O problema é que, para uma carga puntiforme, a densidade é mal definida, isto é, normalmente tomamos a liberdade de um abuso matemático e escrevemos:

onde é a versão tridimensional da chamada “função” delta de Dirac. Para não causar problemas com os puristas em matemática, temos sempre a alternativa de escrever a lei de Gauss na forma integral e, portanto, integrando a Eq. (15) no volume encontramos:

Usando a Eq. (14) e sabendo que a carga total no volume é a Eq. (16) fornece:

isto é,

Usando a Eq. (17) na Eq. (13), obtemos:

e, assim, a Eq. (11) dá:

Mas a Eq. (19) é a equação de onda com fonte. Vamos definir, portanto:

Vemos então que definido pela Eq. (20), satisfaz a equação de onda com fonte que queríamos resolver. Para ver isso, basta substituir a integral que aparece na Eq. (19) por da Eq. (20). Obtemos:

isto é,

que é, justamente, a equação que o potencial escalar satisfaz no calibre de Lorentz (confira com a Eq. (2) da postagem Invariância de calibre)!

A solução que encontramos para o potencial escalar, expressa pela Eq. (20), é uma solução particular da equação de onda com fonte. A solução geral é a soma dessa solução particular com a solução geral da equação de onda sem fonte. Mas, aqui, estamos interessados no caso em que queremos os campos gerados por cargas e correntes não nulas, os campos causados por essas fontes. Nesse caso, queremos soluções que dão zero se as fontes forem identicamente nulas. Logo, no calibre de Lorentz, a Eq. (20) é a solução que satisfaz essa condição de contorno: a de um potencial escalar gerado pela distribuição de cargas dada por

De forma exatamente análoga ao que fizemos até agora, podemos encontrar as soluções para o potencial vetorial causado pela distribuição de corrente dada por (confira com a Eq. (3) da postagem Invariância de calibre). O resultado é facilmente transcrito dos cálculos que fizemos para o potencial escalar, apenas com a troca do fator multiplicativo da fonte:

Por causa do sinal negativo que aparece na dependência temporal das soluções dadas pelas Eqs. (20) e (22), os potenciais no calibre de Lorentz causados pelas fontes acontecem depois que a carga e a corrente mudam no tempo, indicando que a evolução temporal dos campos é causada pelos movimentos das fontes. Por causa desse retardamento temporal, os potenciais das Eqs. (20) e (22) são chamados de potenciais retardados. Você pode demonstrar que os potenciais avançados, definidos por

e

também são soluções exatamente das mesmas equações de onda com fonte que os potenciais retardados satisfazem! Mas o uso desses potenciais avançados é uma outra longa história que vou deixar para outra oportunidade.

😎

Bibliografia

[1] John R. Reitz, Frederick J. Milford e Robert W. Christy , Foundations of Electromagnetic Theory, terceira edição (Addison-Wesley Publishing Company, 1979).

Recomendo também a leitura das postagens a seguir:

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