A equação de Lindblad para uma medida quântica

O processo de medida em mecânica quântica usualmente envolve o chamado colapso da função de onda. Como detalharei em futuras postagens, esse processo usualmente é suposto instantâneo, como se a interação com o aparato de medida fosse imensamente forte para poder ocorrer em um curtíssimo intervalo de tempo. No entanto, embora curtíssimo, esse intervalo de tempo não é nulo, pois deve, necessariamente, haver uma interação com o instrumento de medida. Nesta postagem apresentarei uma prescrição para simular a dinâmica de uma medida quântica durante um tempo finito, com um parâmetro de controle para esse tempo.

Na postagem sobre super-operadores, consideramos, como exemplo, o seguinte super-operador:

onde é uma constante real, é um operador hamiltoniano e é outro operador hermitiano, isto é,

É claro que é qualquer operador que atua no espaço de Hilbert onde também opera. Em particular, estamos interessados em tratar sistemas quânticos abertos e, portanto, é natural considerarmos a ação de sobre operadores densidade. Assim, no instante , se é o operador densidade do sistema de hamiltoniana , podemos tomar e escrever

Uma equação de Lindblad particular é obtida supondo que a evolução de seja dada por

ou seja,

que é uma equação de Lindblad se

onde é o operador identidade. Um exemplo muito simples para esse caso é o de um operador lindbladiano, , proporcional a uma matriz de Pauli. Nesta postagem, tomemos

com real. Então, o espaço de Hilbert natural para considerarmos é o dos estados de um spin . Um sistema qualquer de apenas dois estados quânticos também pode ser chamado de qubit, palavra originada de “quantum bit” para designar a menor unidade de informação quântica. Assim, vamos utilizar a palavra qubit aqui em nossas discussões, ao invés de particularizar nosso âmbito para o caso específico de um spin .

No caso em que o operador de Lindblad, , é proporcional a , a equação de evolução para a matriz densidade acima dá uma descrição da dinâmica do processo de medida do operador observável . Digo que dá uma descrição, e não a descrição, porque a equação de Lindblad, em si, é uma equação mestra para o caso em que o resto do universo que perturba o sistema é markoviano. Mas essa história contarei em outra postagem.

Para simplificar nossa ilustração do uso da equação de Lindblad para descrever uma medida quântica, tomemos

onde é a constante de Planck dividida por e é uma constante real positiva com dimensão de frequência angular, de modo que

Para estarmos prontos a simular o processo de medida quântica, ainda falta o estado inicial do qubit. Vamos supor que, no momento em que a medida é iniciada, o estado do sistema seja uma superposição coerente de auto-estados de :

onde

e

de modo que

e

Supondo que seja um estado normalizado, segue que

É bom recordarmos isso:

e, portanto,

dando

Como ter o estado normalizado significa termos

segue que

Até agora falamos do estado inicial, mas não do operador densidade inicial. Como o estado inicial é puro, segue que o operador densidade é simplesmente

Dizemos que esse estado é puro porque

ou, em detalhes,

Esse estado inicial também é coerente quando e são ambos não nulos, resultando em coerências não nulas:

e, consequentemente,

É bom lembrarmos também que os elementos fora da diagonal principal da matriz densidade, e , são chamadas coerências.

Este é o ponto em que podemos resolver a equação de evolução do processo de medida. Por conveniência, escrevamos:

Assim, a equação de evolução fica

isto é,

Igualando cada elemento de matriz do membro direito com o correspondente do membro esquerdo, obtemos

e

Logo,

e

Em forma matricial, temos

O presente resultado é bastante interessante se discutido adequadamente. Observemos que as coerências se anulam quando

Nesse caso,

e, portanto,

pois

e

Logo, nesse caso,

e o estado representado por é uma mistura estatística. De fato, o estado

representa um ensemble puramente clássico, em que por cento dos elementos estão no estado e os outros por cento, no estado . Em outras palavras, a dinâmica ditada pela equação mestra acima destrói a superposição quântica do estado inicial do ensemble. A equação de evolução

pode, portanto, representar o processo de medida que dura um tempo da ordem de algumas unidades de . Em postagens posteriores, estarei descrevendo outras características marcantes da simulação da medida quântica através da equação de Lindblad.

Recomendo também a leitura das postagens a seguir:

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3 Comments for A equação de Lindblad para uma medida quântica

  1. Leonardo Andreta de Castro said,

    março 19, 2010 @ 0:14

    Agora vejo para que serve o operador : ele leva não a outra matriz-densidade, mas à sua derivada. Com relação ao traço, agora percebo que ele precisa se anular para esse tipo de superoperador. De fato, como

    ,

    temos que ter

    .

    Na verdade, também tem traço nulo pois, ao contrário do que eu supus tacitamente no último comentário, não é unitário, mas .

  2. Pedro Soares said,

    setembro 4, 2012 @ 18:02

    Olá Reginaldo,

    Tenho estudado a dedução da equação de Lindblad utilizando a tese do Carlos Brasil. Porém nesta dedução, o sistema somente interage com o banho de osciladores, e seu hamiltoniano independe do tempo, o que infelizmente não tenho no meu problema…
    Em meu problema específico, é feita uma primeira análise sem o banho, há apenas uma interação interna que resulta numa equação mestra onde os lindblads são os projetores! Não acho em lugar algum algo parecido, nem mesmo no livro do Breuer Petruccione. Desde já lhe agradeço.

  3. reginaldo said,

    setembro 5, 2012 @ 16:25

    Olá Pedro,
    Grato deveras pelo seu comentário. Como conversamos pessoalmente, o autor do problema que você está estudando considerou graus de liberdade do sistema em duas categorias: os de interesse e os que são ignorados. O traço que você procura é sobre os graus de liberdade do próprio sistema que não é relevante para a discussão. Então, sobra só o lindbladiano com operadores envolvendo os graus de liberdade de interesse. Um lugar que você pode olhar isso é a modelagem de aparatos experimentais como em Omnès.

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