A equação de Fokker e Planck para o movimento browniano

Audio clip: Adobe Flash Player (version 9 or above) is required to play this audio clip. Download the latest version here. You also need to have JavaScript enabled in your browser.

Exatamente no primeiro dia de setembro de 1930, um artigo escrito por George Eugene Uhlenbeck e Leonard Salomon Ornstein apareceu publicado na Physical Review com o título On the theory of the Brownian motion. Em particular, gostei da maneira cuidadosa com que deduzem a equação de Fokker e Planck. Para compartilhar meu achado, vou explicar os detalhes aqui, dentro do contexto de outras postagens que já apresentei sobre o fascinante tópico do movimento browniano.

Na postagem Coeficiente de difusão, apresentei a equação de Langevin para a velocidade da partícula que executa movimento browniano em suspensão na água:

onde é o vetor velocidade da partícula de massa efetiva é a força que flutua no tempo, chamada de força de Langevin, produzida pelas colisões aleatórias com as moléculas de água e é a constante de proporcionalidade entre a força de resistência imposta pela água e a velocidade da partícula em suspensão. Também mencionei o cálculo da média da velocidade no ensemble das partículas em suspensão. Recapitulando, das partículas em suspensão, vamos considerar todas aquelas que tinham a mesma velocidade em Teremos uma Eq. (1) para cada uma dessas partículas e podemos, então, somar todas essas equações termo a termo e dividir tudo pelo número total dessas equações com a mesma condição inicial. O resultado dará a média de cada termo, no ensemble e não no tempo. A média no ensemble de uma função dada a condição inicial em é denotada como

Agora é hora de introduzir um espaço tridimensional um pouco diferente daquele mais comum, que descreve o espaço físico de três dimensões. Como a variável importante no presente contexto é a velocidade, podemos pensar em usar um sistema de coordenadas ortogonal em que os eixos mostram as componentes do vetor como ilustrado na figura abaixo. Um elemento infinitesimal de volume nesse espaço tridimensional, em coordenadas cartesianas, é, portanto, dado por

Considerando que o número de partículas em suspensão é macroscopicamente grande, podemos pensar na aproximação em que suas velocidades variam continuamente de partícula a partícula, em um meio contínuo de partículas em suspensão. Logo, temos um campo de velocidades e podemos pensar em uma distribuição de velocidades dada pela função Essa ideia é análoga à da distribuição de cargas elétricas em um material. Por exemplo, a densidade volumétrica de cargas é dada por uma função que dá a carga no elemento de volume quando multiplicada por ele, isto é,

onde o elemento de volume fica em torno do ponto Se os portadores de carga no material são elétrons e se a carga eletrônica é dada por então o número de elétrons por unidade de volume é dado pelo quociente O número de elétrons no elemento de volume localizado em torno do ponto é dado por

No nosso presente caso, vamos supor que temos partículas em suspensão, com um número muitíssimo grande, como no caso dos elétrons em um material dielétrico eletrizado. Desse total de partículas em suspensão, queremos o número delas que tinham, todas, a velocidade inicial no instante e que têm seus vetores velocidade, no instante dentro do volumezinho infinitesimal localizado em torno do vetor Esse número é apenas uma fração do número total, Além disso, é uma função de e e é proporcional ao volume Então, denotamos esse número como onde a função é a chamada distribuição de velocidades das partículas em suspensão. Na expressão da média para cada valor possível de velocidade no instante valores repetidos de somados. de Dessa forma, a média nada mais é do que a soma de todos esses valores de para todas as possíveis velocidades no instante dividida pelo número total Portanto, em termos da distribuição a média é escrita como uma integral:

isto é,

onde a integral é feita sobre todos os valores reais das componentes de Na Eq. (2) dizemos que a quantidade é a probabilidade de que a velocidade de uma partícula em suspensão esteja no intervalo entre e no instante onde supondo que a velocidade inicial era em A equação de Fokker e Planck dá a evolução temporal da distribuição É essa equação que vamos deduzir aqui.

Conforme o tempo passa, as velocidades das partículas em suspensão mudam. Assim, queremos relacionar a função com a função para um incremento temporal Tendo essa relação, podemos calcular a derivada parcial de com relação a tomando o limite quando vai a zero:

O resultado desse limite fornece, portanto, a equação diferencial parcial que dita a dinâmica da distribuição de velocidades. A seguir mostro um raciocínio que, se você acompanhar, vai ajudar você a entender direitinho como é que surge a equação de Fokker e Planck.

Temos partículas em suspensão, no total. Dessas, queremos saber quantas têm suas velocidades dentro do elemento de volume infinitesimal em torno de no instante tendo todas partido com velocidade inicial em Analogamente ao que vimos acima, esse número pode ser escrito como Logo, se no instante temos esse número de partículas com velocidades em torno de então, no instante cada uma dessas partículas não tinha sua velocidade em torno de já que as partículas em suspensão sofrem colisões que mudam suas velocidades conforme o tempo passa. No instante por exemplo, havia partículas com velocidades em torno de mas nem todas elas terminaram ganhando um incremento de velocidade igual a depois de um intervalo de tempo Logo, nem todas essas partículas contribuíram para o número em Seja, portanto, a fração de partículas que, tendo velocidade no instante ganham um incremento de velocidade no elemento de volume em torno do vetor durante o intervalo de tempo terminando com velocidade Portanto, das partículas com velocidades em torno de no instante apenas o produto

adquire velocidade em torno de no instante contribuindo para o total delas, isto é, Levar em conta todas as contribuições para esse número em é equivalente a integrar

sobre todos os valores de isto é,

ou seja,

onde e a integral é feita sobre todos os valores reais das componentes de

Para obtermos a equação de Fokker e Planck, devemos expandir o integrando da Eq. (5) em série de potências de Assim, podemos expandir e obter

onde

Já para obtermos o resultado esperado, vamos seguir o artigo de Uhlenbeck e Ornstein e, ao invés de vamos escrever com no lugar de no terceiro argumento da função Isso é um truque que fazemos para poder expandir essa função em série de potências do que aparece apenas no primeiro argumento de Depois de feita essa expansão, aí sim vamos tomar no terceiro argumento de e utilizar o resultado para gerar, através da integração indicada na Eq. (5), uma série de valores médios de potências de Seguindo esse procedimento, escrevemos

com uma velocidade arbitrária. Isso é um truque e não há nada de errado com essa expressão, pois não estamos truncando a série, conforme as reticências indicam. Nesse caso, então, podemos calcular a Eq. (8) com e obter

que é válida desde que não trunquemos a série. Multiplicando as Eqs. (6) e (9) termo a termo, obtemos

onde reordenei os termos por conveniência.

Agora a substituição da Eq. (10) na Eq. (5) dá

Pela definição de vemos que

pois a soma de todas as frações do número total de partículas que sofrem algum incremento de velocidade durante o intervalo de tempo é igual à unidade, pois todas elas sofrem algum incremento de velocidade, mesmo que seja nulo. Também podemos escrever a segunda integral do membro direito da Eq. (11) assim:

onde notamos que

que é a média no ensemble do incremento de velocidade no instante em que todas as partículas partem com velocidade no instante Note que é uma função de e Já a quarta integral do membro direito da Eq. (11) pode ser escrita como

onde

e

Então, a Eq. (15) pode ainda ser reescrita como

Como a água é um meio isotrópico, segue que não depende da direção de e, portanto,

Substituindo a Eq. (17) na Eq. (16), obtemos

onde vemos que

que é uma função de e O quinto termo do membro direito da Eq. (11) pode, por sua vez, ser escrita assim:

onde usei as Eqs. (17) e (19). A Eq. (20) pode ainda ser escrita como

O sexto termo do membro direito da Eq. (11) também pode ser escrito como

onde usei as Eqs. (17) e (19). Substituindo as Eqs. (12), (13), (18), (21) e (22) na Eq. (11), obtemos

isto é,

Substituindo a Eq. (23) na Eq. (4), obtemos

onde definimos

e

Para calcular esses limites, note que representa um incremento de velocidade. Então, da integral da Eq. (1) no tempo, desde o instante até o instante segue que

Note que, pela discussão anterior, a quantidade que chamamos de é, na Eq. (27), o valor de O valor médio no ensemble da Eq. (27) dá

pois a força de Langevin tem sua direção e sua intensidade aleatórias, resultando em uma média no ensemble nula, isto é,

No entanto, observe que

e, portanto, substituindo a Eq. (29) na Eq. (28), obtemos

A substituição da Eq. (30) na Eq. (25) dá

Para calcular note que

onde usei a notação em que e, portanto,

Logo,

isto é,

ou seja,

ou ainda,

onde usei o fato de que é constante em um ensemble onde todas as partículas têm velocidade no instante e também usei a relação

Segue da Eq. (32) que

onde usei a Eq. (30). Substituindo a Eq. (34) na Eq. (33), obtemos

isto é,

Agora precisamos calcular Para fazer isso, note que a Eq. (1) pode ser reescrita assim:

que, multiplicada pelo fator integrante fica

A Eq. (36) pode ser formalmente integrada, desde o instante até um instante posterior, e o resultado é

isto é,

ou seja,

Multiplicando cada membro da Eq. (37) escalarmente por si mesmo, obtemos

isto é,

Tomando a média da Eq. (38) no ensemble definido por todas as partículas com velocidade no instante obtemos

Veja que, como é uma constante no ensemble, segue que

e

que usamos para obter a Eq. (39). Como a força de Langevin é completamente aleatória, segue que

como já expliquei na postagem Coeficiente de difusão, e a Eq. (39) fica assim:

A média dá a correlação da força de Langevin em dois instantes quaisquer, e que só não é nulo quando a diferença entre os instantes de tempo, for muito reduzida, em torno do chamado tempo de correlação da força de Langevin. Assim, postulamos que a força de Langevin tem correlação dada por

onde é uma função par, muito estreita e centrada em zero, isto é, tem seu maior valor quando indo a zero rapidamente conforme a diferença entre os instantes de tempo aumenta. Substituindo a Eq. (41) na Eq. (40), obtemos

Façamos a seguinte substituição de variáveis:

e

O determinante Jacobiano para essa transformação fica

e os elementos de área correspondentes estão relacionados como

isto é,

Substituindo as Eqs. (43), (44) e (45) na Eq. (42), obtemos

Como é uma função muito concentrada em torno de podemos estender a integração sobre desde valores infinitamente negativos até valores infinitamente positivos quando for maior do que o tempo de correlação e vamos tomar como sendo maior do que esse tempo de correlação também. Nesse caso,

e a Eq. (46) pode ser reescrita como

isto é,

ou seja,

onde usei a definição da constante da Eq. (47). No limite em que vai a infinito, a Eq. (48) fornece

isto é,

Mas nós sabemos que, para longos tempos, há equipartição de energia e a energia cinética média tende a onde é a constante de Boltzmann e é a temperatura absoluta do meio. Assim,

Das Eqs. (49) e (50) segue que

Substituindo a Eq. (51) na Eq. (48) e tomando obtemos

Explicitamente, até primeira ordem em a Eq. (52) fica

isto é,

Substituindo a Eq. (53) na Eq. (35), obtemos

isto é,

Substituindo a Eq. (54) na Eq. (26), podemos encontrar isto é,

A substituição das Eqs. (31) e (55) na Eq. (24) dá

isto é,

que, no limite em que vai a zero, fica

Note que não mais há as reticências porque todos os outros termos são proporcionais a e, portanto, tendem a zero no limite em que se aproxima de zero. No entanto, essa demonstração não vou explicitar aqui.

A Eq. (56) corresponde à que Uhlenbeck e Ornstein obtiveram em seu artigo de 1930, só que aqui está feita em três dimensões. Não creio ter cometido nenhum erro de cálculo e, portanto, creio ter a versão em três dimensões correta. No entanto, não encontrei, em minhas pesquisas na internet, uma referência com exatamente essa equação. Se você souber onde encontrar a Eq. (56), em outra fonte além desta postagem, por favor, deixe um comentário com a referência.

😎

Música desta postagem: Nocturne for Left Hand Alone Op. 9 No. 2 de Alexander Scriabin, por Eddy del Rio

Recomendo também a leitura das postagens a seguir:

Uma versão em PDF

Gostou desta postagem? Então clique no botão abaixo e siga o Nerdyard no Twitter! Toda vez que houver uma nova postagem aqui, você saberá imediatamente! :cool:

Siga Nerdyard no Twitter

Melhor ainda: inscreva-se em Nerdyard e receba, por e-mail, o aviso com links para cada nova postagem ou novidade.

Google Groups
Inscreva-se em Nerdyard
Melhor email:
Visite este grupo

NOTE QUE EU ODEIO SPAM COM TODA CONVICÇÃO! :cool:

Dessa forma, não se preocupe: eu juro que jamais fornecerei seu endereço de e-mail ou qualquer outra informação sobre você para ninguém!

Clip to Evernote

2 Comments for A equação de Fokker e Planck para o movimento browniano

  1. MajorananoArtico said,

    maio 17, 2012 @ 17:20

    Aqui professor, Fokker Planck genérica para muitas dimensões:

    http://en.wikipedia.org/wiki/Fokker_Planck#Many_dimensions

    Abração.

  2. reginaldo said,

    junho 15, 2012 @ 10:27

    Olá MajorananoArtico,
    Grato deveras pelo seu comentário! Com o link você ajudou a complementar a postagem! Valeu!

RSS comments feed· TrackBack URI A equação de Fokker e Planck para o movimento browniano

Deixe um comentário for A equação de Fokker e Planck para o movimento browniano

Editor de Equações (www.codecogs.com/latex/eqneditor.php)

Para entender como utilizar esse editor de equações, clique aqui.