A energia eletromagnética no Sistema Internacional de unidades

Em uma postagem anterior, A conservação de energia em eletromagnetismo, apresentei a conservação de energia no eletromagnetismo, estabelecendo o teorema de Poynting. No entanto, naquela ocasião, tudo foi feito no sistema CGS de unidades. Na presente postagem vamos refazer a demonstração do mesmo teorema, mas no sistema MKS e fazendo menção às energias potenciais armazenadas nos campos e estáticos.

No caso estático, a energia eletrostática armazenada no campo elétrico é dada por

onde é o volume do espaço onde há campo eletrostático, e a energia magnetostática armazenada no campo magnético é dada por

onde é o volume do espaço onde há campo magnetostático. Estamos considerando meios homogêneos, lineares e isotrópicos. Nesta postagem apresentamos a dedução da equação que dá o balanço da energia no caso geral, não estático, e veremos que as expressões acima ainda podem ser consideradas como as energias potenciais armazenadas nos campos, mas não necessariamente devem ser conservadas em um volume .

A força de Lorentz para uma carga puntiforme é dada por

onde é o vetor velocidade da partícula carregada. Inúmeros experimentos têm intensificado a crença generalizada de que essa força vale também para o caso não estático e, portanto, podemos considerá-la para determinar o balanço energético entre uma distribuição de matéria carregada e os campos e . Se a matéria é caracterizada pelas densidades e , então a força sobre um elemento de volume de matéria é dada por

e, como

segue que

Neste ponto é importante enfatizarmos que , no caso contínuo, é o campo de velocidades da matéria, isto é, no ponto e instante , temos .

O trabalho que a força elétrica faz sobre a carga por unidade de tempo é a potência mecânica transferida dos campos para a matéria e é dada por

Notemos que a força magnética não executa trabalho sobre a matéria. Da lei de Ampère & Maxwell segue que a densidade de corrente pode ser expressa em termos dos campos:

Assim,

Considerando que

podemos escrever

Também, usando a convenção de Einstein, obtemos

onde usamos a lei da indução de Faraday,

Considerando que

podemos escrever:

Com esses resultados, obtemos

A taxa de variação da energia cinética da matéria carregada é dada por

onde é a superfície fechada que constitui a fronteira da região e definimos o vetor de Poynting como

Logo, o balanço de energia dentro do volume é dado por:

Em outras palavras, essa equação mostra que, em uma região do espaço, a energia cinética da matéria somada com a energia total armazenada nos campos será conservada se e somente se o fluxo do vetor de Poynting sobre a fronteira da região for nulo. Essa equação é também conhecida como o teorema de Poynting.

😎

Bibliografia

[1] John R. Reitz, Frederick J. Milford e Robert W. Christy , Foundations of Electromagnetic Theory, terceira edição (Addison-Wesley Publishing Company, 1979).

Recomendo também a leitura das postagens a seguir:

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