A elipse

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Como a primeira lei de Kepler menciona que a trajetória de um planeta é uma elipse, é sempre bom recordar alguns fatos sobre elipses. Consideremos dois pontos sobre o eixo dados por e com Seja um número real positivo tal que Com essas hipóteses, podemos definir uma elipse como o lugar geométrico dos pontos sobre o plano tal que o ponto pertença à elipse se e somente se a soma das distâncias entre e e entre e seja igual a Essa definição sugere uma maneira prática de traçar uma elipse, como ilustra a figura abaixo, do link http://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse.

Figura da Wikipedia (http://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse)

Uma maneira de traçar uma trajetória elíptica. Figura do site http://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse

Também do site http://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse, a próxima figura mostra as ditâncias normalmente relacionadas com uma elipse.

Distâncias envolvidas em uma elipse. Figura do site http://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse

Distâncias envolvidas em uma elipse. Figura do site http://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse

Assim, a condição para que pertença à elipse pode ser escrita através de uma equação:

Podemos tentar eliminar as raízes quadradas dessa expressão. Para isso, escrevamos

que, elevados ambos os membros ao quadrado, fornece

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Novamente elevando ambos os membros ao quadrado dá

isto é,

ou seja,

Como é uma constante positiva, pois segue que podemos dividir tudo por essa quantidade para obter

isto é,

Seja

Então, a equação da elipse fica

como é comum nos exercícios de cálculo. Veja que, sobre o eixo há dois pontos apenas sobre a elipse: e sendo esses os pontos onde a elipse corta o eixo A elipse corta o eixo apenas nos pontos e Como, obviamente, segue que a elipse tem um eixo maior, de comprimento e um eixo menor, de comprimento É por isso que dá tamanho do semi-eixo maior e é o comprimento do semi-eixo menor da elipse. Como podemos definir a quantidade

que é a chamada excentricidade da elipse. Se for nula, então a elipse tornar-se-á uma circunferência. Os pontos e são os chamados focos da elipse e é a chamada distância focal. Note que a excentricidade é sempre menor do que a unidade,

Coordenadas polares com a origem no centro da elipse

Em coordenadas polares, trocamos as variáveis e por coordenadas e através das relações:

e

A equação da elipse, em coordenada polares fica, então,

isto é,

Para simplificar essa equação, escrevamos

Com isso, a equação da elipse em coordenadas polares pode ser reescrita como

isto é,

ou seja,

ou ainda,

resultando em

Coordenadas polares com a origem em um dos focos

É comum também escrevermos coordenadas polares tomando a origem sobre um dos focos da elipse e não em seu centro. Sendo assim, meçamos a partir do foco Nesse caso, a mudança de coordenadas dá-se através das equações

e

A equação da elipse,

agora escreve-se

isto é,

Usando

e

simplificamos a equação da elipse logo acima por

isto é,

ou seja,

ou ainda,

Simplificando essa última equação, obtemos

Podemos agora resolver para utilizando a fórmula de Bhascara:

isto é,

Como é uma distância e, portanto, deve ser sempre um número não negativo, a solução que procuramos é a que tem o sinal positivo no lugar do sinal que aparece no numerador, isto é,

pois, caso contrário, porque e tornar-se-ia uma distância negativa e, portanto, sem sentido. A solução final, portanto, ainda pode ser mais simplificada, pois

e, assim,

Espero que com essa postagem você tenha feito uma boa revisão sobre a equação da elipse. Esse tópico é recorrente em disciplinas de física, pois as órbitas elípticas aparecem de novo em Mecânica Clássica e em Física Moderna. Em Física Moderna, quando as primeiras regras de quantização são abordadas, as órbitas do elétron do átomo de hidrogênio são tomadas como elípticas, mas com energias quantizadas.
😎

Música desta postagem: Consolations S. 172 (Un poco più mosso – 1850) de Franz Liszt, por Eugene Dolan

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