A dispersão normal e a dispersão anômala

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Quando estudamos o modelo de Drude-Lorentz, vimos que a polarização não é proporcional ao campo elétrico. No entanto, podemos definir a polarização complexa, , que é proporcional ao campo elétrico complexo:

onde, analogamente ao campo elétrico, a polarização física é dada pela parte real da polarização complexa:

dawn silhouettes at the squan reservoir
Creative Commons License photo credit: joiseyshowaa

Continuando a analogia com o caso eletrostático, podemos definir uma susceptibilidade elétrica complexa como

Notemos, no entanto, que não podemos afirmar que a parte real dessa quantidade dá a susceptibilidade física do meio, pois, como vimos, a polarização física não é proporcional ao campo elétrico físico.

Com essas definições, também faz sentido falarmos de um campo deslocamento complexo, definido por

onde também definimos a constante dielétrica complexa,

Supondo que o meio não seja magnético, podemos escrever a Lei de Ampère-Maxwell complexa como

Essa equação e as outras equações de Maxwell para os campos complexos fornecem a equação de onda

Essa é a equação de onda para o campo elétrico complexo macroscópico que se propaga no meio dispersivo. Uma onda plana propagando-se ao longo do eixo tem o campo elétrico dado, por exemplo, por

onde, em virtude da equação de onda acima,

Logo, essa é uma onda evanescente, pois é um número complexo. Sendo assim, podemos escrever

onde

Agora fica fácil constatarmos que a parte imaginária de está relacionada à absorção da energia da luz incidente pelo meio e a parte real de está relacionada à dispersão da luz no meio. Podemos definir o índice de refração, portanto, como

já que a velocidade de propagação da onda plana evanescente acima é dada por .

Para calcularmos o índice de refração, podemos escrever

Assim, devemos resolver o sistema de equações:

Para simplificar nossa análise e, ao mesmo tempo, manter a física do problema intacta, suponhamos que estejamos bem próximos da primeira ressonância na expressão

isto é,

Nesse caso, mantendo apenas o termo mais importante, podemos escrever

com

e

Notemos que

Para tornar essas expressões ainda mais simples, podemos utilizar a chamada frequência de plasma,

Resolvamos agora:

Temos

ou seja,

cujas soluções são

Como , a solução aceitável é

isto é,

Como

temos

Tomemos , de forma que possamos aproximar:

Assim, usando a definição da frequência de plasma,

obtemos

e

Notemos que a função

é uma lorentziana. Em termos dessa função, podemos escrever

e

Com essas aproximações,

No entanto, quando a absorção é muito fraca, podemos supor e, portanto, as equações originais,

e

implicam em

isto é,

Com a frequência suficientemente próxima à ressonância, podemos considerar

Nesse caso,

A função , nesse caso, tem um pico e passa a diminuir logo depois. Enquanto, para , cresce com , temos a chamada dispersão normal. Enquanto, para , diminui com , temos a chamada dispersão anômala.

😎

Música desta postagem: Mazurka Op. 7 no. 1 in B-flat Major de Frédéric Chopin, por Monica Alianello

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3 Comments for A dispersão normal e a dispersão anômala

  1. » A Condutividade Elétrica | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    março 22, 2010 @ 10:53

    […] modelo de dispersão da luz em meios materiais de Drude-Lorentz, calculamos a susceptibilidade elétrica complexa, considerando a resposta dos […]

  2. » Frequência de Plasma | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    março 22, 2010 @ 12:06

    […] modelo de dispersão da luz em meios materiais de Drude-Lorentz, definimos, então como uma mera conveniência, a chamada frequência de […]

  3. » Relações de Kramers-Kronig ou relações de dispersão | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    abril 13, 2010 @ 10:56

    […] polarização em um meio dispersivo não é proporcional ao campo elétrico. No entanto, definimos a polarização complexa, , que é proporcional ao campo elétrico complexo, isto […]

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