A dispersão normal e a dispersão anômala no MKS

Esta postagem é uma adaptação da postagem, A dispersão normal e a dispersão anômala, para o sistema MKS de unidades.

Quando estudamos o modelo de Drude-Lorentz, vimos que a polarização não é proporcional ao campo elétrico, nesse modelo. No entanto, podemos definir a polarização complexa, , que é proporcional ao campo elétrico complexo:

onde, analogamente ao campo elétrico, a polarização física é dada pela parte real da polarização complexa:

Continuando a analogia com o caso eletrostático, podemos definir uma susceptibilidade elétrica complexa como

Notemos, no entanto, que não podemos afirmar que a parte real dessa quantidade dá a susceptibilidade física do meio, pois, como vimos, a polarização física não é proporcional ao campo elétrico físico.

Com essas definições, também faz sentido falarmos de um campo deslocamento complexo, definido por

onde também definimos a constante dielétrica complexa,

Supondo que o meio não seja magnético, podemos escrever a lei de Ampère & Maxwell complexa como

Essa equação e as outras equações de Maxwell para os campos complexos fornecem a equação de onda

Essa é a equação de onda para o campo elétrico complexo macroscópico que se propaga no meio dispersivo. Uma onda plana propagando-se ao longo do eixo tem o campo elétrico dado, por exemplo, por

onde, em virtude da equação de onda acima,

Logo, essa é uma onda evanescente, pois é um número complexo. Sendo assim, podemos escrever

onde

Agora fica fácil constatarmos que a parte imaginária de está relacionada à absorção da energia da luz incidente pelo meio e a parte real de está relacionada à dispersão da luz no meio. Podemos definir o índice de refração, portanto, como

já que a velocidade de propagação da onda plana evanescente acima é dada por .

Para calcularmos o índice de refração, podemos escrever

Assim, devemos resolver o sistema de equações:

Para simplificar nossa análise e, ao mesmo tempo, manter a física do problema intacta, suponhamos que estejamos bem próximos da primeira ressonância na expressão

isto é,

Nesse caso, mantendo apenas o termo mais importante, podemos escrever

com

e

Notemos que

Para tornar essas expressões ainda mais simples, podemos utilizar a chamada frequência de plasma,

Resolvamos agora:

Temos

ou seja,

cujas soluções são

Como , a solução aceitável é

isto é,

Como

temostemos

Tomemos , de forma que possamos aproximar:

Assim, usando a definição da frequência de plasma,

obtemos

e

Notemos que a função

é uma lorentziana. Em termos dessa função, podemos escrever

e

Com essas aproximações,

No entanto, quando a absorção é muito fraca, podemos supor e, portanto, as equações originais,

implicam em

isto é,

Com a frequência suficientemente próxima à ressonância, podemos considerar

Nesse caso,

A função , nesse caso, tem um pico e passa a diminuir logo depois. Enquanto, para , cresce com , temos a chamada dispersão normal. Enquanto, para , diminui com , temos a chamada dispersão anômala.

😎

Bibliografia

[1] John R. Reitz, Frederick J. Milford e Robert W. Christy , Foundations of Electromagnetic Theory, terceira edição (Addison-Wesley Publishing Company, 1979).

Recomendo também a leitura das postagens a seguir:

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5 Comments for A dispersão normal e a dispersão anômala no MKS

  1. Gabriel Magno said,

    setembro 29, 2016 @ 15:42

    Professor de uma olhada na expressão de a e b, não teria uma raiz quadrada no denominador?

  2. Gabriel Magno said,

    setembro 29, 2016 @ 15:46

    nâo tem não.. Percebi agora, o senhor esta certo

  3. reginaldo said,

    outubro 11, 2016 @ 10:56

    Oi Gabriel,
    Ok… Não tem a raiz, não. Grato deveras pelo comentário! Valeu!

  4. João Pedro Sussel Bertogna said,

    outubro 11, 2016 @ 21:21

    Professor, na definição da freqüência de Plasma, em um momento a definição contava com 4*pi, mas anteriormente havia sido definida sem.

    Sei que é apenas um constante para acrescentar nas contas, a qual não diz nada de novo sobre o resultado final. A pergunta é mais para saber se eu perdi algo no meio do caminho e saber se há algum porque de definir com ou sem o 4*pi, tem algo haver com o sistema de unidade?

  5. reginaldo said,

    outubro 24, 2016 @ 16:55

    Olá João,
    Pronto, eu já corrigi; é só o problema de transformar as unidades, sim, você está certo. Era só isso? Já corrigi a postagem e o PDF da postagem. Troquei a expressão do 4pi por outra que não tem 4pi no numerador, mas tem epsilon_0 no denominador. O resto está correto?
    Grato deveras!

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