A densidade e o fluxo de energia

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Como já é corriqueiro em nossas discussões eletromagnéticas, vamos utilizar a notação

onde

e

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Creative Commons License photo credit: Unruely

Assim, as equações de Maxwell na ausência de cargas e correntes livres dão

Em resumo,

A densidade de energia é dada por

O fluxo de energia é dado pelo vetor de Poynting:

Se tomamos , por exemplo, obtemos o seguinte:

Como e são quantidades reais, então

não depende do tempo e não depende do espaço. A média temporal dos termos oscilantes restantes dá zero. Por exemplo,

Assim,

Procedendo similarmente para o caso da densidade de energia, obtemos a média temporal

Como e são quantidades reais, então

Logo,

e

É interessante notarmos que, a partir dessas equações, também temos

onde

é a velocidade com que as ondas se propagam. Essa relação é análoga à relação entre a densidade de corrente e a densidade de carga:

Quando o meio dielétrico possui uma condutividade finita, isto é, é um meio condutor, temos

Nesse caso, a equação de onda para é dada por:

Também temos

As respectivas versões complexas dessas equações de onda são

e

Se tomamos o ansatz

obtemos

Assim, se é real, segue que é um vetor complexo. Dessa forma, escrevemos

onde

Portanto,

Portanto,

e

Para verificarmos essas relações, façamos:

Logo,

Analogamente,

Com isso, obtemos

Finalmente, para o fluxo de energia, temos

e, portanto,

Logo,



😎

Música desta postagem: Träumerei de Robert Schumann, por Mauro Bertoli

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5 Comments for A densidade e o fluxo de energia

  1. » Ondas planas em meios condutores | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    março 25, 2010 @ 9:30

    […] O fluxo de energia médio no meio condutor é dado pelo vetor de Poynting médio: […]

  2. Diego Paiva Pires said,

    abril 25, 2011 @ 13:21

    Olá, prof. Reginaldo.

    Na passagem:

    “Nesse caso, a equação de onda para é dada por:

    …”,

    acredito que falta o termo também na derivada parcial de primeira ordem nesta equação, ou seja,

    .

    Pelos cálculos, com a inclusão deste fator a referida equação de onda fica compatível com a Lei de Ampére-Maxwell macroscópica.

    Obrigado.

  3. reginaldo said,

    abril 27, 2011 @ 9:49

    Olá Diego Paiva Pires,
    Grato deveras pelo seu comentário! Já corrigi o texto como você indicou. Valeu!

  4. V said,

    abril 27, 2012 @ 10:43

    Professor, creio que no lugar de:

    Devemos ter:

  5. reginaldo said,

    junho 15, 2012 @ 10:26

    Olá Victor,
    Grato deveras pelo seu comentário. A correção já foi feita na postagem. Valeu!

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