A corrente de deslocamento e as equações de Maxwell

Nesta postagem vamos introduzir a corrente de deslocamento como é entendida hoje, com uma exposição didática, usando a notação atual. Aqui adotamos uma abordagem baseada no conhecimento que é comum adquirir depois de um curso semestral de eletrostática e magnetostática. Essa abordagem moderna é, no entanto, muito diferente daquela que James Clerk Maxwell (1831-1879) adotou, pois ele imaginava que os fenômenos eletromagnéticos resultavam de manifestações mecânicas de um meio material elástico, que ficou conhecido como o éter. Do ponto de vista clássico do século XX, no entanto, as forças eletromagnéticas agem não apenas através de um meio material mas também através do vácuo. Então, a inferência que vamos ver a seguir é de valor didático, mas não representa, de forma alguma, o raciocínio que levou Maxwell a introduzir sua corrente de deslocamento. Mesmo o nome dado a essa corrente não corresponde a conceito algum que faça sentido do ponto de vista da discussão seguinte, embora na maior parte dos livros-texto essa advertência não seja feita.

Usualmente, nos cursos de eletrostática e magnetostática, começamos com a ideia de carga elétrica, de sua conservação e da força de Coulomb. Então, até o final do semestre, gradativamente vamos introduzindo e estudando as seguintes equações para os campos e :

Como a carga é conservada, vale a equação da continuidade, ou seja,

Tomando o divergente de ambos os membros da lei de Ampère e igualando, temos

Como o divergente de um rotacional é identicamente nulo, concluímos que, pela lei de Ampère, não vale a equação da continuidade, pois, mesmo que seja dependente do tempo, a lei de Ampère fornece

contradizendo a conservação da carga elétrica. Vemos, assim, que está faltando algo nas equações acima. Na segunda metade do século XIX James Clerk Maxwell (1831-1879) modificou a lei de Ampère. A equação resultante, conhecida como a lei de Ampère & Maxwell, implica a validade da equação da continuidade e, portanto, é consistente com a conservação da carga elétrica.

Para sermos didáticos, vamos colocar esse problema em termos concretos considerando um circuito com uma bateria ligada em série a um resistor e um capacitor, como mostra a figura abaixo.

Usando a regra de Kirchhoff para diferenças de potencial, temos

onde é a força eletromotriz constante fornecida pela bateria, é a carga na placa diretamente ligada ao terminal positivo da bateria, é a capacitância do capacitor, é a resistência do resistor e

é a corrente que escolhemos ao longo do sentido que vai do terminal positivo ao negativo da bateria. Assim, podemos resolver a equação:

Consideremos o fator integrante

Então, a equação acima pode ser escrita como

ou seja,

A solução geral para essa equação diferencial ordinária de primeira ordem é

ou ainda,

onde é uma constante arbitrária. Se, em , o capacitor possuía carga nula, temos

isto é,

Logo,

A corrente através do circuito é, portanto, dada por

Desse problema simples concluímos que há entrada de cargas na placa do capacitor que está conectada ao terminal positivo da bateria e há saída de cargas da outra placa. No entanto, entre as placas do capacitor, supostamente vácuo, não há passagem de cargas. No instante , tomemos uma circuitação circular em um plano transversal ao fio que conecta o terminal positivo da bateria a uma das placas do capacitor. A lei de Ampère fornece

se , uma superfície cuja fronteira é o circuito , for escolhida de forma que o fio tenha um ponto de intersecção com , como mostra a figura abaixo.

No entanto, essa mesma circuitação dá zero se, ao invés de , escolhermos , uma outra superfície cuja fronteira é o circuito , sem ponto algum de intersecção com o fio, isto é, passa entre as placas do capacitor, como ilustrado na figura a seguir.

Uma forma de termos consistência nesse caso é impor que haja corrente entre as placas do capacitor, embora não haja matéria atravessando a região. Assim, entre as placas do capacitor, devemos ter uma corrente que iguale , mas que não é devida ao transporte de matéria. Essa corrente foi postulada por Maxwell e é chamada de “corrente de deslocamento”.

Vamos agora inferir a mudança necessária à lei de Ampère para incluir a corrente de deslocamento. Observemos que entre as placas do capacitor há um campo elétrico dado por:

onde é a área de cada placa paralela do capacitor e é o sentido da corrente de deslocamento, que aponta da placa positiva à negativa do capacitor. Aqui estamos desprezando efeitos de bordas. Então, a única entidade física que podemos considerar entre as placas do capacitor é o campo elétrico, que é proporcional à carga na placa positiva do capacitor. Portanto, se há alguma quantidade física entre as placas que pode fornecer a explicação para uma corrente ali, então essa quantidade deve estar relacionada ao campo elétrico. Como discutimos acima, o valor da corrente de deslocamento coincide com a derivada temporal de . Então, podemos usar esse fato para relacionar o valor de com o do campo elétrico entre as placas, tomando a derivada temporal da equação acima:

Para isolarmos podemos considerar o fluxo através de uma superfície entre as placas do capacitor, de área , paralela e idêntica às placas do capacitor:

Com isso, podemos \textquotedblcorrigir\textquotedbl a lei de Ampère se, sobre , impusermos

Como essa expressão vale sobre , que não tem intersecção com o fio, podemos inferir que essa igualdade vale para o espaço vazio e sobre qualquer superfície cuja fronteira é . Logo, podemos obter a forma diferencial dessa nova lei de Ampère para o vácuo:

Caso seja adicionada uma corrente de matéria, então generalizamos a lei de Ampère da seguinte forma:

No caso de materiais dielétricos e magnéticos lineares, homogêneos e isotrópicos, é fácil mostrar que a lei de Ampère fica

com

A lei de Ampère, com o termo de deslocamento, também é conhecida como a lei de Ampère & Maxwell.

Notemos que agora a equação da continuidade não é violada, pois, tomando o divergente em ambos os membros da lei de Ampère & Maxwell, temos:

onde utilizamos a lei de Gauss.

😎

Bibliografia

[1] John R. Reitz, Frederick J. Milford e Robert W. Christy , Foundations of Electromagnetic Theory, terceira edição (Addison-Wesley Publishing Company, 1979).

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1 Comentário for A corrente de deslocamento e as equações de Maxwell

  1. reginaldo said,

    agosto 2, 2016 @ 17:47

    Acho que é relevante acrescentar como comentário aqui que, embora a introdução da corrente de deslocamento de Maxwell apresentada nesta postagem é muito comum nos livros-texto, eu pessoalmente não acho que é a melhor maneira de introduzi-la. Talvez fosse mais didático esclarecer que, para Maxwell havia sentido falar em deslocamento, pois, para ele, as ondas eletromagnéticas caminhavam através de um meio material chamado éter. Para nós, nos nossos dias, a existência do éter já foi descartada empiricamente. Logo, faria mais sentido se, com a análise da validade da lei de Ampère, concluíssemos que falta um termo envolvendo campo no membro esquerdo, que não é corrente. Não pode haver corrente, pois não há transporte de matéria entre as placas do capacitor. A equação da continuidade não é resgatada pela introdução de uma corrente no membro direito, mas o é pela introdução de um termo a mais no membro esquerdo. Isso poderia ser suspeitado, didaticamente falando, olhando atentamente para a lei da indução de Faraday, passando o termo da derivada do campo indução magnética para o membro esquerdo.

    E, sem dúvida, deveríamos sempre ter em destaque o fato de que a introdução do termo a mais na lei de Ampère é obtido por heurística e é, de fato, uma inferência, que deve ser testada experimentalmente. Refutações de deduções derrubam toda a teoria. Já a refutação de uma inferência não pode derrubar uma teoria, pois uma inferência é um salto lógico, uma generalização como se quiséssemos descobrir a forma de um objeto tridimensional a partir de sua sombra plana.

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