A convenção de Einstein para somas

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É muito comum termos várias somas iteradas em nossos cálculos em eletromagnetismo. Por exemplo,

A notação com índices que estou apresentando aqui é tal que

para coordenadas cartesianas. Como uma notação extremamente conveniente, também podemos usar:

e

Com isso, podemos escrever

 

Tipicamente, nesses cálculos vetoriais, sempre que há uma soma, invariavelmente há dois fatores com o mesmo índice somado em cada termo. Sendo assim, como no exemplo acima, sempre que aparecer, por exemplo, em algum termo, também aparecerá o símbolo de soma . Logo, podemos abolir esse símbolo de nossa notação, subentendendo que dois índices iguais no mesmo termo são somados de a . Essa convenção de Einstein simplifica a notação e torna os cálculos mais rápidos por abolir símbolos desnecessários. Com essa convenção, por exemplo, podemos escrever:

etc.. É importante notarmos também que, em cada termo, cada índice pode aparecer apenas duas vezes, para não confundirmos quais fatores devem ser somados aos pares.

Música desta postagem: Polonaise in C minor Op.40 No.2 de Frédéric Chopin, por Sandro Bisotti

Recomendo também a leitura da postagem a seguir:

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5 Comments for A convenção de Einstein para somas

  1. » A conservação de energia em eletromagnetismo | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    março 5, 2010 @ 16:19

    […] usando a convenção de Einstein, […]

  2. » Radiação de Dipolo Elétrico ou Radiação Dipolar Elétrica | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    abril 12, 2010 @ 19:47

    […] estamos usando a convenção de Einstein para somas. Assim, […]

  3. » Os potenciais de Liénard-Wiechert | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    maio 10, 2010 @ 11:59

    […] . A convenção de Einstein para somas permite que […]

  4. José Victor said,

    janeiro 11, 2012 @ 3:45

    Caro Professor,

    Muito oportuna esta postagem, sobre uma “regrinha” que é, simplesmente genial, apesar de simples. Mas é que o homem que a descobriu era assim: simples e genial! Einstein, eis o homem. Quando Einstein obteve o insight de que todos os corpos em queda livre não sentiriam o próprio peso, aliado ao fato de que todos caem do mesmo jeito, no vácuo, independentemente de sua massa, constituição, cor, forma, etc., imediatamente lhe veio à mente o fato de que isto só poderia acontecer devido a certas propriedades do próprio espaço! Inferiu, de maneira clara, que o espaço só poderia ser curvo, para permitir a ocorrência do que era observa, desde Galileu. Era preciso expressar isso matematicamente. Mas ele não conhecia nenhum formalismo matemático que lhe permitisse, apropriadamente, expressar esse fato físico tão importante, em forma matemática. Uma amigo, muito sabidão em matemática, simplesmente viu nas suas conjeturas um mundo científico que estaria por vir, de maneira única, então deu aquela ajuda: Einstein poderia expressar suas idéias a respeito usando um formalismo recém descoberto, que era o cálculo tensorial. Uma formalismo que, então, ainda não havia caido nas graças da grande maioria dos físicos e matemáticos da época, e por diversos motivos. Um deles sendo a as dificuldaes operacionais, abusadas e tediosas, a selva de índices envolvidos nas expressões, o montão de sinais de somatórias que sempre aparecia, and so on; aliado ao fato de não haver, ao menos ninguém “enxergava”, terra à vista, digo, aplicações físicas concretas para aquele mar de ferramentas, que hoje sabemos ser indispensável em física teórica. Iniciou os estudos dessa nova maquinaria matemática, com ajuda de um seu amigo matemático. E até incorporar o formalismo ao seu quadro de referências, decorreram algo em torno de 2/3anos(hoje, segundo entendo, é possível um aluno médio, com aptidões matemáticas, aprender o básico, bem básico, em menos que isso – estaria
    eu sobre estimando a curva de aprendizado tão suave?). Pois bem, nesses seus estudos, descobriu, a reboque, que poderia eliminar complementamente os abusados e cansativos sinais de somatórios simplesmente observando que, num monômio, índices iguais(covariante e contravariante) representavam, na realidade, uma soma sobre a faixa de variação desses índices. Dizem alguns historiadores que, a partir daí, o cálculo tensorial recebeu um baita impulso; muitos teóricos desviaram uma parte de sua atenção para esse formalismo que, por conta disso, desenvolveu-se mais ainda, e continua até os dias de hoje. E Einstein não se considerava matemático! Imagine se fosse um deles(particularmente, acho que era, também, um matemático de peso, só que com todas as suas atenções voltadas para física. Transitava tão bem em matemática, em qualquer de suas formas, como em física. Essa é a verdade, em minha opinião. O propalado “boato”, veiculado por seus detratores terroristas, é que criaram essa coisa ridícula de que era medíocre em matemática, coisas tolas do tipo. Assim, por conta de sua visão, de sua percepção, o cálculo tensorial nasceu para o mundo científico, sendo sua primeira aplicação física a Teoria da Relatividade Geral.
    Regra da soma: uma pequena contribuição na forma, mas gigantesca no alcance e na importância, visceral, para a Análise Tensorial e para toda a física. Se um dado fenômeno não pode ser expresso tensorialmente, o que significa ser covariante(ter a mesma forma em todos os sistemas de referência), então, certamente, tal fenômeno não é físico, certamente não é nada. Simples assim. Sequer é alguma coisa, como dia o impagável Pauli.
    Não se fazem Einsteins como antigamente. Melhor pensando: nunca foi feito um, além dele…

  5. reginaldo said,

    janeiro 18, 2012 @ 11:46

    Olá José Victor,
    Grato deveras pelo seu comentário, que veio complementar a postagem com entusiasmo e informação! Concordo plenamente com você que, Einstein: só há um apenas! Valeu mesmo e um grande abraço.

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