A conservação de momentum linear em eletromagnetismo

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Além do balanço de energia em eletromagnetismo, podemos também deduzir a lei de conservação de momentum linear. Para isso, consideramos um elemento de volume do espaço, , em que haja uma certa quantidade de carga dada por . Na presença dos campos e , essa carga sofre a ação da força de Lorentz:

green laser
Creative Commons License photo credit: timsnell

Em uma região do espaço, portanto, a força eletromagnética total sobre a matéria é dada por

Essa força nada mais é do que a variação do momentum das cargas dentro da região , isto é,

onde é o momentum linear da matéria eletricamente carregada em . Aqui desconsideraremos a existência de matéria neutra. Podemos expressar o integrando acima apenas em termos dos campos e não das fontes e . Para isso, tomamos, da Lei de Gauss,

e, da Lei de Ampère-Maxwell,

Logo, o integrando aparecendo no membro direito da equação de balanço de momentum fica

Podemos usar a Lei de Indução de Faraday,

para obter

Assim,

Para podermos ter uma lei de balanço análoga à da energia, precisamos reposicionar o operador ou suas componentes de modo a obtermos, ao invés de uma integral volumétrica, integrais de superfície. Para ilustrar o que queremos, consideremos, primeiramente, os termos com e :

e, como podemos verificar,

dando

Com o Lema de Gauss, vem

onde é a superfície fechada que constitui a fronteira da região e é a normal externa a . De forma análoga, podemos calcular:

já que não há monopolos magnéticos, isto é,

e, portanto

Agora podemos obter a integral volumétrica de , pois temos todos os termos levados em conta:

já que

Voltando à equação de balanço de momentum linear,

encontramos, finalmente,

isto é,

onde

é a densidade de momentum linear do campo eletromagnético. Portanto, se definirmos o momentum linear do campo eletromagnético como

o balanço de momentum linear para o eletromagnetismo é dado por

que é conservado na região se, e somente se,

Caso essa quantidade não seja nula, há transferência de momentum através da superfície da região e, portanto, podemos interpretar essa quantidade como a integral da força por unidade de área transmitida através da superfície . Se tomarmos uma só componente desse integrando, temos

onde

é o chamado tensor dos estresses de Maxwell. Com isso, o balanço de momentum linear pode também ser expresso como

Música desta postagem: Impromptu No.4 Op.66 in C-sharp minor (Fantaisie-Impromptu) de Frédéric Chopin, por Thorsten Hammerde

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9 Comments for A conservação de momentum linear em eletromagnetismo

  1. » A Reação da Radiação | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    junho 8, 2010 @ 11:04

    […] em que o momentum de uma partícula carregada tem origem completamente eletromagnética. Assim, a lei de conservação de momentum linear envolvendo campos e matéria, na teoria de Abraham-Lorentz, não apresenta o termo com momentum mecânico, apenas o termo […]

  2. » Emissão de momentum por uma partícula carregada em movimento arbitrário | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    julho 5, 2010 @ 16:58

    […] torno do vetor o momentum leva um intervalo de tempo para passar através do elemento de área A lei de conservação de momentum linear envolvendo campos e matéria fornece a expressão para o momentum emitido, através de por unidade de tempo e por elemento de […]

  3. Denis said,

    março 31, 2011 @ 19:46

    “Com o Lema de Gauss, vem”

    Primeiro.
    Professor, os Lemas de Gauss, se eu não me engano, fazem referencia a polinômios, teoria dos números e geometria Riemanniana. Neste caso acho que você quis dizer Teorema de Gauss.

    Segundo.
    É sobre a seguinte passagem matemática abaixo:

    Pelo o que eu pude entender, a manipulação da segunda linha para a terceira foi apenas a aplicação do teorema de Gauss, certo?
    No entanto, na segunda integral da segunda linha, nós não temos um divergente de um vetor para aplicarmos o teorema de Gauss e sim um gradiente de um escalar, dado por E^2. Ou seja, ao meu ver esta passagem esta errada.

    Valeu!

  4. Diego said,

    abril 1, 2011 @ 3:24

  5. Denis said,

    abril 1, 2011 @ 3:44

    Queria vim me desculpar aqui pelo meu segundo comentário, especialmente na parte abaixo.

    “No entanto, na segunda integral da segunda linha, nós não temos um divergente de um vetor para aplicarmos o teorema de Gauss e sim um gradiente de um escalar, dado por . Ou seja, ao meu ver esta passagem esta errada.”

    Ocorre que eu acabei de me lembrar que o dito acima não é verdade. Apesar do nome(teorema de gauss ou divergencia), agente pode SIM, aplicar o teorema de Gauss em gradientes e rotacionais! (Por isso que convem chamar o teorema da divergencia de teorema de Gauss, porque ele engloba alem do divergente, o gradiente e o rotacional!)

    Se voce me permitir professor, vou fazer uma rápida e informal dedução aqui para mostrar porque tal fato é possível. Uma vez que esta pode ser uma dúvida de alguma outra pessoa.

    Então vamos lá!
    Nesta aula, realizamos a seguinte operação:

    No entanto, este não é uma aplicação do teorema de Gauss que normalmente nos é passado. E sim apenas uma particularização para operador divergente.

    Vamos mostrar então que esta operação é válida, generalizando assim o teorema de Gauss.

    Por construção vamos tomar

    onde e sendo não nulos para i = 1,2,3

    Sendo assim, temos:

    Já que derivada de constante é nula.
    Integrando a equaçao acima em um elemento de volume
    , temos:

    Por sua vez

    O que nos dá:

    Por construção, tomamos , diferente de zero, e portanto:

    c.q.d

    Da mesma forma se procede para deduzir a regra para o rotacional dada abaixo.

    Sendo
    com sendo vetor constante, temos:

    Ou seja, o teorema vale tambem para gradientes!

    É ainda possível mostrar que o teorema de Gauss pode ser extendido para tensores, mas isso fica para outro dia! =P

    Valeu!

  6. reginaldo said,

    abril 1, 2011 @ 11:20

    Olá Denis,
    Grato deveras pelo seu comentário. Certamente há muitos lemas de Gauss em cada contexto em que ele atuou. Há muitos teoremas também. A passagem a que você se refere não está errada. Uso o termo “lema de Gauss” no contexto presente para diferenciá-lo do teorema da divergência de Gauss. Diria, então, que é o lema da divergência de Gauss e diz o seguinte:

    para toda função Você pode ver a dedução desse particular lema de Gauss em minha postagem O teorema da divergência de Gauss. Espero que eu tenha esclarecido suas dúvidas. Valeu.

  7. reginaldo said,

    abril 1, 2011 @ 11:38

    Olá Denis,
    Grato deveras pelo seu comentário. Acho que faltou um no seu Ah, na próxima vez que escrever comentários usando fórmulas, insira sempre um espaço depois de $latex. Valeu!

  8. reginaldo said,

    abril 1, 2011 @ 11:47

    Olá Diego,
    Grato deveras pelo seu comentário. No entanto, o que você quis dizer com ele?

  9. Denis said,

    abril 4, 2011 @ 18:45

    Tá certo! É isso mesmo..
    Consegui entender sim! =D

    Valeu

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