A conservação de energia em eletromagnetismo

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Em mecânica clássica aprendemos a utilizar o conceito de leis de conservação para obter primeiras integrais das equações de movimento. Para cada lei de conservação, podemos eliminar uma equação de movimento. Assim, em mecânica, as leis de conservação são muito importantes para diminuir o número de equações que precisamos resolver. Nem sempre podemos encontrar um número de leis de conservação igual ao de equações de movimento; nesse caso, o sistema dinâmico é dito não integrável. E em eletromagnetismo? As equações de Maxwell juntamente com a força de Lorentz também formam um sistema dinâmico, embora muito complicado, mas que pode tornar-se mais tratável se tivermos leis de conservação. Como vimos anteriormente, a equação da continuidade expressa a conservação da carga elétrica. Poderíamos ter também a energia conservada? A seguir teremos a elucidação dessa questão através da demonstração do teorema de Poynting.

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As equações de Maxwell são constituídas pela Lei de Gauss,

pelo fato de que não há monopolos magnéticos,

pela Lei de Indução de Faraday,

e pela Lei de Ampère-Maxwell,

A força de Lorentz para uma carga puntiforme é dada por

onde é o vetor velocidade da partícula carregada. Essa força vale também para o caso não estático e, portanto, podemos considerá-la para determinar o balanço energético entre uma distribuição de matéria carregada e os campos e . Se a matéria é caracterizada pelas densidades e , então a força sobre um elemento de volume de matéria é dada por

e, como

segue que

Neste ponto é importante enfatizarmos que , no caso contínuo, é o campo de velocidades da matéria, isto é, no ponto e instante , temos .

O trabalho que a força elétrica faz sobre a carga por unidade de tempo é a potência mecânica transferida dos campos para a matéria e é dada por

Notemos que a força magnética não executa trabalho sobre a matéria. Da Lei de Ampère-Maxwell segue que a densidade de corrente pode ser expressa em termos dos campos:

Assim,

Podemos escrever

Também, usando a convenção de Einstein, obtemos

onde usamos a Lei de Indução de Faraday,

Podemos também escrever

Com esses resultados, obtemos

A taxa de variação da energia cinética da matéria carregada é dada pelo trabalho, por unidade de tempo, da força de Lorentz que é exercida sobre as cargas e, portanto,

onde é a superfície fechada que constitui a fronteira da região e definimos o vetor de Poynting como

Aqui também reconhecemos a energia armazenada no campo elétrico,

e a energia armazenada no campo indução magnética,

Logo, o balanço de energia dentro do volume é dado por

Em outras palavras, essa equação mostra que, em uma região do espaço, a energia cinética da matéria somada com a energia total armazenada nos campos será conservada se e somente se o fluxo do vetor de Poynting sobre a fronteira da região for nulo. Essa equação é também conhecida como o Teorema de Poynting.

Música desta postagem: Impromptu No.3 Op.51 in G-flat major de Frédéric Chopin, por Eric Levine

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1 Comentário for A conservação de energia em eletromagnetismo

  1. » A conservação de momentum linear em eletromagnetismo | Nerdyard | Eletromagnetismo, Mecânica Quântica, Econofísica, História da Ciência said,

    março 4, 2010 @ 19:02

    […] do balanço de energia em eletromagnetismo, podemos também deduzir a lei de conservação de momentum linear. Para isso, consideramos um […]

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