A colisão elástica de duas esferas rígidas

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Na postagem Seção de choque diferencial, considerei o problema da colisão elástica entre uma partícula pontual e uma esfera rígida de raio finito. No entanto, quando apresentei o conceito de seção de choque, na postagem Seções de choque, mencionei a colisão entre duas esferas rígidas de raios finitos. Na presente oportunidade, mostro como calcular a seção de choque diferencial clássica para a colisão elástica entre duas esferas rígidas, de raios finitos e, depois, por integração, calculo a seção de choque total. Dessa forma, ilustro aqui os conceitos das duas postagens, Seção de choque diferencial e Seções de choque, em um caso mais complexo do que o de uma partícula incidente puntiforme. Para simplificar, vou supor que a esfera alvo permanece sempre imóvel, na mesma posição, antes e depois da colisão.

A primeira providência é expressar a relação entre o parâmetro de impacto, da esfera incidente, de raio e o ângulo de espalhamento para a colisão com a esfera alvo, de raio A Fig. 1 abaixo ilustra a situação inicial, em que a esfera incidente, verde, se aproxima com velocidade da esfera alvo, vermelha. Note que, como na postagem Seções de choque, o parâmetro de impacto é a distância entre o centro da esfera alvo e a reta paralela ao vetor velocidade inicial e que, assintoticamente, passa pelo centro da esfera incidente. Veja também que adotei o eixo como na postagem Seção de choque diferencial, com a origem do sistema de coordenadas escolhida no centro da esfera alvo.

Figura 1

Figura 1: A situação inicial, em que a esfera incidente, verde, se aproxima com velocidade da esfera alvo, vermelha.

A Fig. 2 a seguir mostra a situação no instante em que a esfera incidente toca a superfície da esfera alvo. Veja que defini um sistema de coordenadas auxiliar em que o plano é paralelo à velocidade inicial da esfera incidente e contém os centros das duas esferas, com a origem desse sistema auxiliar, escolhida sobre o centro da esfera incidente neste instante da colisão. Além disso, em termos do ângulo de incidência, a velocidade inicial pode ser escrita como

onde e são os versores com os sentidos dos eixos auxiliares e

Figura 2
Figura 2: A situação no instante em que a esfera incidente toca a superfície da esfera alvo.

Como a colisão é elástica, a componente normal da velocidade, deve mudar de sinal após a colisão e a velocidade final da esfera verde fica

onde, como afirmado acima, estou supondo que a esfera alvo permanece sempre imóvel. A Fig. 3 ilustra, de forma ampliada, a geometria envolvida na obtenção da velocidade após a colisão. Fica evidente na Fig. 3 que a lei de reflexão para colisões elásticas decorre do fato de que, em uma colisão elástica, é a componente normal da velocidade que sofre inversão de sentido, mas sem mudança de magnitude. Veja que essa lei vale tanto para o caso em que é finito como para quando temos uma partícula incidente puntiforme, como é o caso apresentado no exemplo da postagem Seção de choque diferencial.

Figura 3
Figura 3: Ampliação dos detalhes envolvidos na geometria que determina o vetor velocidade após a colisão.

A Fig. 4 a seguir mostra a esfera verde seguindo sua trajetória com velocidade após a colisão elástica com a esfera vermelha, que é sempre suposta imóvel. O que fiz na Fig. 4 foi transladar o vetor determinado na Fig. 3 para o ponto onde o centro da esfera incidente se encontra no instante da colisão. Note que o ângulo de espalhamento, é duas vezes o ângulo de incidência, isto é,

Das Figs. 2, 3 e 4 fica evidente que o parâmetro de impacto pode ser escrito em termos dos raios das duas esferas, e e do ângulo de incidência com a normal, ou seja,

conforme fica evidente do triângulo violeta indicado na Fig. 4.

Figura 4
Figura 4: Trajetória final da esfera verde, após a colisão com a esfera vermelha, que, por hipótese, sempre permanece imóvel. O triângulo violeta ilustra a relação do parâmetro de impacto, com os raios das esferas, e e o ângulo de incidência,

Usando a mesma metodologia da postagem Seção de choque diferencial, a única diferença no raciocínio que o presente caso implica é a relação do parâmetro de impacto com o ângulo de espalhamento, isto é, usando as Eqs. (3) e (4),

Então, a única mudança na Eq. (15) da postagem Seção de choque diferencial para sua utilização no presente exemplo é trocar por naquela fórmula, resultando na seção de choque diferencial

Com isso, a seção de choque total para a colisão entre as duas esferas é obtida pela integração sobre todo o ângulo sólido de da Eq. (6) e o resultado fica

como explicado na postagem Seções de choque (veja lá, a Eq. (2)).

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Música desta postagem: Eighteen Pieces Op. 72 (Passé Lontain) de Pyotr Ilich Tchaikovsky, por Stewart Kautsch

Referências

[1] Nuclear Reactions. Some Basics, por Demetrius J. Margaziotis.

[2] Keith R. Symon, Mechanics , terceira edição (Addison Wesley, 1971).

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