A corrente de deslocamento e as equações de Maxwell

Nesta postagem vamos introduzir a corrente de deslocamento como é entendida hoje, com uma exposição didática, usando a notação atual. Aqui adotamos uma abordagem baseada no conhecimento que é comum adquirir depois de um curso semestral de eletrostática e magnetostática. Essa abordagem moderna é, no entanto, muito diferente daquela que James Clerk Maxwell (1831-1879) adotou, pois ele imaginava que os fenômenos eletromagnéticos resultavam de manifestações mecânicas de um meio material elástico, que ficou conhecido como o éter. Do ponto de vista clássico do século XX, no entanto, as forças eletromagnéticas agem não apenas através de um meio material mas também através do vácuo. Então, a inferência que vamos ver a seguir é de valor didático, mas não representa, de forma alguma, o raciocínio que levou Maxwell a introduzir sua corrente de deslocamento. Mesmo o nome dado a essa corrente não corresponde a conceito algum que faça sentido do ponto de vista da discussão seguinte, embora na maior parte dos livros-texto essa advertência não seja feita.

Usualmente, nos cursos de eletrostática e magnetostática, começamos com a ideia de carga elétrica, de sua conservação e da força de Coulomb. Então, até o final do semestre, gradativamente vamos introduzindo e estudando as seguintes equações para os campos e :

Como a carga é conservada, vale a equação da continuidade, ou seja,

Tomando o divergente de ambos os membros da lei de Ampère e igualando, temos

Como o divergente de um rotacional é identicamente nulo, concluímos que, pela lei de Ampère, não vale a equação da continuidade, pois, mesmo que seja dependente do tempo, a lei de Ampère fornece

contradizendo a conservação da carga elétrica. Vemos, assim, que está faltando algo nas equações acima. Na segunda metade do século XIX James Clerk Maxwell (1831-1879) modificou a lei de Ampère. A equação resultante, conhecida como a lei de Ampère & Maxwell, implica a validade da equação da continuidade e, portanto, é consistente com a conservação da carga elétrica.

Para sermos didáticos, vamos colocar esse problema em termos concretos considerando um circuito com uma bateria ligada em série a um resistor e um capacitor, como mostra a figura abaixo.

Usando a regra de Kirchhoff para diferenças de potencial, temos

onde é a força eletromotriz constante fornecida pela bateria, é a carga na placa diretamente ligada ao terminal positivo da bateria, é a capacitância do capacitor, é a resistência do resistor e

é a corrente que escolhemos ao longo do sentido que vai do terminal positivo ao negativo da bateria. Assim, podemos resolver a equação:

Consideremos o fator integrante

Então, a equação acima pode ser escrita como

ou seja,

A solução geral para essa equação diferencial ordinária de primeira ordem é

ou ainda,

onde é uma constante arbitrária. Se, em , o capacitor possuía carga nula, temos

isto é,

Logo,

A corrente através do circuito é, portanto, dada por

Desse problema simples concluímos que há entrada de cargas na placa do capacitor que está conectada ao terminal positivo da bateria e há saída de cargas da outra placa. No entanto, entre as placas do capacitor, supostamente vácuo, não há passagem de cargas. No instante , tomemos uma circuitação circular em um plano transversal ao fio que conecta o terminal positivo da bateria a uma das placas do capacitor. A lei de Ampère fornece

se , uma superfície cuja fronteira é o circuito , for escolhida de forma que o fio tenha um ponto de intersecção com , como mostra a figura abaixo.

No entanto, essa mesma circuitação dá zero se, ao invés de , escolhermos , uma outra superfície cuja fronteira é o circuito , sem ponto algum de intersecção com o fio, isto é, passa entre as placas do capacitor, como ilustrado na figura a seguir.

Uma forma de termos consistência nesse caso é impor que haja corrente entre as placas do capacitor, embora não haja matéria atravessando a região. Assim, entre as placas do capacitor, devemos ter uma corrente que iguale , mas que não é devida ao transporte de matéria. Essa corrente foi postulada por Maxwell e é chamada de “corrente de deslocamento”.

Vamos agora inferir a mudança necessária à lei de Ampère para incluir a corrente de deslocamento. Observemos que entre as placas do capacitor há um campo elétrico dado por:

onde é a área de cada placa paralela do capacitor e é o sentido da corrente de deslocamento, que aponta da placa positiva à negativa do capacitor. Aqui estamos desprezando efeitos de bordas. Então, a única entidade física que podemos considerar entre as placas do capacitor é o campo elétrico, que é proporcional à carga na placa positiva do capacitor. Portanto, se há alguma quantidade física entre as placas que pode fornecer a explicação para uma corrente ali, então essa quantidade deve estar relacionada ao campo elétrico. Como discutimos acima, o valor da corrente de deslocamento coincide com a derivada temporal de . Então, podemos usar esse fato para relacionar o valor de com o do campo elétrico entre as placas, tomando a derivada temporal da equação acima:

Para isolarmos podemos considerar o fluxo através de uma superfície entre as placas do capacitor, de área , paralela e idêntica às placas do capacitor:

Com isso, podemos \textquotedblcorrigir\textquotedbl a lei de Ampère se, sobre , impusermos

Como essa expressão vale sobre , que não tem intersecção com o fio, podemos inferir que essa igualdade vale para o espaço vazio e sobre qualquer superfície cuja fronteira é . Logo, podemos obter a forma diferencial dessa nova lei de Ampère para o vácuo:

Caso seja adicionada uma corrente de matéria, então generalizamos a lei de Ampère da seguinte forma:

No caso de materiais dielétricos e magnéticos lineares, homogêneos e isotrópicos, é fácil mostrar que a lei de Ampère fica

com

A lei de Ampère, com o termo de deslocamento, também é conhecida como a lei de Ampère & Maxwell.

Notemos que agora a equação da continuidade não é violada, pois, tomando o divergente em ambos os membros da lei de Ampère & Maxwell, temos:

onde utilizamos a lei de Gauss.

😎

Bibliografia

[1] John R. Reitz, Frederick J. Milford e Robert W. Christy , Foundations of Electromagnetic Theory, terceira edição (Addison-Wesley Publishing Company, 1979).

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